Кривизна плоской кривой (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 66

Пример 3. Найти координаты центра кривизны и построить кривую и круг кривизны кривой:
1) y=4x-x^{2} в ее вершине;
2) x=t-\sin t,\: y=1-\cos t в точке, где \displaystyle t=\frac{\pi }{2} .
Решение. 1) Данное уравнение определяет параболу, ось которой параллельна оси Oy . Найдем ее вершину как точку, где касательная параллельна оси Ox , т. е. где y'=0 :

Кривизна плоской кривой. Практикум по математическому анализу. Урок 65

Если плоская линия отнесена к прямоугольной системе координат и задана уравнением y=f(x) или уравнениями x=\varphi (t),y=\psi (t) , то ее кривизна K в любой точке определяется формулой

\displaystyle K=\frac{\left | y'' \right |}{\left [ 1+(y')^{2}\right ]^{\frac{3}{2}}}=\frac{\left | \dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x} \right |}{(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2})^{\frac{3}{2}}}, \; \; \; \; (1)


где \dot{x},\ddot{x},\dot{y},\ddot{y} — первая и вторая производные от x и y по параметру t .

Приближенное решение уравнений (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 64

Пример 2. Вычислить с точностью до 0,0001 наибольший корень уравнения x^{5}-x-0,2=0 .
Решение. Вначале отделим искомый корень графическим методом. Преобразуя уравнение к виду x^{5}=x+0,2 и построив кривые y=x^{5} и y=x+0,2 в одних координатных осях (рис. 79), при указанных неодинаковых по осям, но одинаковых для обеих кривых единицах масштаба, заключаем, что искомый наибольший корень содержится на отрезке [1; 1,1].

Приближенное решение уравнений. Практикум по математическому анализу. Урок 63

1) Графический метод. Отделение корней. Действительные корни уравнения f(x)=0 являются абсциссами точек пересечения кривой y=f(x) с осью Ox , а если это уравнение преобразуется к виду \varphi_{1}(x)=\varphi_{2}(x) , то его действительные корни будут абсциссами точек пересечения кривых y=\varphi_{1}(x) и y=\varphi_{2}(x) .
Пользуясь этим, как было показано в решении задачи 2 (урок 7), можно находить приближенные значения действительных корней алгебраических и трансцендентных уравнений путем построения соответствующих кривых.

Исследовать функцию и построить график (решение примера). Практикум по математическому анализу. Урок 62

Пример 6. Исследовать функцию \displaystyle y=x+2\textrm{arcctg}\, x и построить ее график.
Решение. I, II. Функция \displaystyle y=x+2\textrm{arcctg}\, x определена и непрерывна на всей числовой оси.
III. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
V.а) Вертикальных асимптот нет;
б) \displaystyle k=\underset{x \to \pm \infty}{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x \to \pm \infty}{\lim }\left ( 1+\frac{2 \textrm{arcctg}\, x}{x} \right )=1;
\displaystyle b_{1}=\underset{x \to +\infty}{\lim }(y-kx)=\underset{x \to +\infty}{\lim }2\textrm{arcctg}x=2\textrm{arcctg}(+\infty)=0;

Исследовать функцию и построить график (решение примера). Практикум по математическому анализу. Урок 61

Пример 4. Исследовать функцию y=\sin ^{4}x+\cos ^{4}x и построить ее график.
Решение. I, II. Функция y=\sin ^{4}x+\cos ^{4}x определена и непрерывна на всей числовой оси.
III. Функция является четной, так как y(-x)=y(x) , и периодической, так как \displaystyle y(x)=y\left ( x+\frac{\pi }{2} \right ) , с периодом \displaystyle \frac{\pi }{2} . Достаточно исследовать поведение этой функции и построить ее график в интервале \displaystyle \left [0;\frac{\pi }{2} \right ) ; в остальных точках числовой оси поведение функции и ее график будут повторяться.

Исследовать функцию и построить график (решение примера). Практикум по математическому анализу. Урок 60

Пример 2. Исследовать функцию  \displaystyle y=\frac{1-x^{3}}{x^{2}} и построить ее график.
Решение. I. Функция  \displaystyle y=\frac{1-x^{3}}{x^{2}} определена на всей числовой оси, кроме точки x=0.
II. В точке x=0 функция имеет бесконечный разрыв: при  x \to -\infty и при  x \to +0 ,\: \lim y=+\infty . Во всех других точках числовой оси функция непрерывна.
III. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
IV. График функции пересекает ось Ох в точке (1; 0) и не пересекает оси Оу.

загрузка...
×