Решение простейших тригонометрических неравенств и неравенств, непосредственно сводящихся к простейшим. Видеоурок №56

Тригонометрические неравенства. Простейшие тригонометрические неравенства и неравенства, непосредственно сводящиеся к простейшим. Учимся решать задачи по тригонометрии. Видеоурок №56
Пример. Решить неравенство: $\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2}\leq \cos x< \frac{1}{2}$. Решение. Выделим на единичной окружности множество точек, абсциссы которых не меньше $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ и меньше $\frac{1}{2}$. Учитывая периодичность функции косинус, получим:

$$\displaystyle \left[\begin{matrix} \frac{\pi }{3}+2\pi k<x\leq \frac{5\pi }{6}+2\pi k,\\ -\frac{5\pi }{6}+2\pi k\leq x<-\frac{\pi }{3}+2\pi k,\, k\in \mathbb{Z}.\\ \end{matrix}\right.$$

Полный урок смотрите в следующем видео:

Домашнее задание:

1. Решить неравенство:
1) $\displaystyle -\frac{1}{2}\leq \sin x<\frac{1}{4};$
2) $\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2}< \cos x\leq -\frac{1}{2};$

3) $\displaystyle \frac{1}{3}\leq \sin x<\frac{1}{2};$
4) $\displaystyle -2< \textrm{tg}\, x<3;$
5) $\displaystyle -4< \textrm{ctg}\, x<1,5;$
6) $\displaystyle \left | \cos x \right |\geq \frac{\sqrt{2}}{2};$

7) $\displaystyle \left | \cos 3x \right |< \frac{\sqrt{2}}{2};$

8) $\displaystyle \left | \sin x \right |> \frac{1}{2};$
9) $\displaystyle \left | \sin 2x \right |< \frac{\sqrt{3}}{2};$
10) $\displaystyle \left | \textrm{tg} x \right |> 2;$
11) $\displaystyle \left | \textrm{ctg} x \right |< \sqrt{3}.$
2. Решить неравенство:
1) $\displaystyle 2\cos ^{2}x\geq 1,5;$
2) $\displaystyle \cos ^{2}2x\leq 0;$
3) $\displaystyle \sin ^{2}3x > \frac{1}{4};$
4) $\displaystyle \sin ^{2}\left ( 2x-\frac{\pi }{4} \right ) < \frac{3}{4};$
5) $\displaystyle \sin x\geq \cos x;$
6) $\displaystyle \sin \left ( \frac{\pi }{3}-x \right )+\cos \left ( \frac{\pi }{6}-x \right )\geq \sqrt{3}.$

3. Решить неравенство:
1) $\displaystyle \sin ^{4}\frac{x}{3}+\cos ^{4}\frac{x}{3}>\frac{1}{2};$
2) $\displaystyle \sin ^{4}x+\cos ^{4}x \geq \sin 2x-\frac{1}{2};$
3) $\displaystyle \sin ^{6}x+\cos ^{6}x \geq \frac{5}{8}.$