Производные обратных тригонометрических функций. Практикум по математическому анализу. Урок 30

Общие формулы и их частные виды:

12)

$\displaystyle (\arcsin u)'=\frac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}};$
13)

$\displaystyle (\arccos u)'=-\frac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}};$
14)

$\displaystyle (arctg\: u)'=\frac{u'}{1+u^{2}};$
15)

$\displaystyle (arcctg\: u)'=-\frac{u'}{1+u^{2}};$

12а)

$\displaystyle (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}};$
13а)

$\displaystyle (\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}};$
14а)

$\displaystyle (arctg\: x)'=\frac{1}{1+x^{2}};$
15а)

$\displaystyle (arcctg\: x)'=-\frac{1}{1+x^{2}}.$

Пример 1. Найти производные следующих функции:
1) $\displaystyle y=5\arcsin kx+3\arccos kx;$
2) $\displaystyle y=\arcsin \frac{a}{x}-\textrm{arcctg}\: \frac{x}{a};$
3) $\displaystyle r=\textrm{arctg}\: \frac{m}{\varphi }+\textrm{arcctg}(m \textrm{ctg}\: \varphi )$ . Найти $\displaystyle r'(0)$ и $\displaystyle r'(\pi )$ .
Решение. 1) По формулам 12 и 13 найдем
$\displaystyle y'=5\frac{(kx)'}{\sqrt{1-(kx)^{2}}}+3\left ( -\frac{(kx)'}{\sqrt{1-(kx)^{2}}} \right )=\frac{5k}{\sqrt{1-k^{2}x^{2}}}-\frac{3k}{\sqrt{1-k^{2}x^{2}}}=\frac{2k}{\sqrt{1-k^{2}x^{2}}}.$
2) Используя формулы 12 и 15, имеем
$\displaystyle y'=\frac{\left ( \frac{a}{x} \right )'}{\sqrt{1-\frac{a^{2}}{x^{2}}}}-\left ( -\frac{\left ( \frac{x}{a} \right )'}{1+\frac{x^{2}}{a^{2}}} \right )=\frac{-\frac{a}{x^{2}}}{\sqrt{\frac{x^{2}-a^{2}}{x^{2}}}}+\frac{\frac{1}{a}}{\frac{a^{2}+x^{2}}{a^{2}}}=\frac{a}{a^{2}+x^{2}}-\frac{a}{\left | x \right |\sqrt{x^{2}-a^{2}}},$
так как $\displaystyle \sqrt{x^{2}}$ равен не $x$ , а $\displaystyle \left | x \right |$ и $\displaystyle x\neq 0$ .
3) Применяем формулы 14 и 15;
$\displaystyle r'=\frac{\left ( \frac{m}{\varphi } \right )'}{1+\frac{m^{2}}{\varphi ^{2}}}-\frac{(m \textrm{ctg}\: \varphi )'}{1+m^{2}ctg^{2}\varphi }=\frac{-\frac{m}{\varphi ^{2}}}{\frac{\varphi ^{2}+m^{2}}{\varphi ^{2}}}-\frac{-\frac{m}{\sin ^{2}\varphi }}{1+m^{2}\textrm{ctg}^{2}\varphi }=-\frac{m}{\varphi ^{2}+m^{2}}+\frac{m}{\sin ^{2}\varphi +m^{2}\cos ^{2}\varphi }.$
Подставляя вместо $\displaystyle \varphi$ заданные значения $0$ и $\displaystyle \pi$ , найдем
$\displaystyle r'(0)=-\frac{1}{m}+\frac{1}{m}=0;\; r'(\pi )=-\frac{m}{ \pi ^{2}+m^{2}}+\frac{1}{m}=\frac{\pi ^{2}}{m(\pi ^{2}+m^{2})}.$