Производные от функции, заданной параметрически. Практикум по математическому анализу. Урок 34

Если функция $y$ от независимой переменной $x$ задана через посредство вспомогательной переменной (параметра) $t:$

$$\displaystyle x=f(t),\: y=\varphi (t),$$

то производные от $y$ по $x$ определятся формулами:

$$\displaystyle y'=\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}};\; y''=\frac{dy'}{dx}=\frac{\frac{dy'}{dt}}{\frac{dx}{dt}};\; y'''=\frac{dy''}{dx}=\frac{\frac{dy''}{dt}}{\frac{dx}{dt}};...\; \; (A)$$

Все эти формулы составлены по одному общему правилу: производная от параметрически заданной величины $z$ по независимой переменной $x$ равна отношению производных от $z$ и от $x$, взятых по параметру $t$.
Пример 1. Для следующих функций, заданных параметрически, найти указанные производные:
1) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} x=k\sin t+\sin kt,\\ y=k\cos t+\cos kt. \end{matrix}\right.$
Найти $\displaystyle \left ( \frac{dy}{dx} \right )_{t=0}$.
Каков геометрический смысл результата?
2) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} x=\alpha ^{2}+2\alpha ,\\ y=\ln (\alpha +1). \end{matrix}\right.$
Найти $\displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^{2}}$.
3) $\displaystyle \left\{\begin{matrix} x=1+e^{a\varphi };\\ y=a\varphi +e^{-a\varphi }. \end{matrix}\right.$
Найти $\displaystyle \frac{d^{3}y}{dx^{3}}$.
Решение. 1) Находим производные от $x$ и от $y$ по параметру $t$:
$\displaystyle \frac{dx}{dt}=k\cos t+k\cos kt;\; \frac{dy}{dt}=-k\sin t-k\sin kt.$
Искомая производная от $y$ по $x$ находится как отношение производных от $y$ и от $x$ по $t$:
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=-\frac{k(\sin t+\sin kt)}{k(\cos t+\cos kt)}=-\frac{2\sin \frac{t+kt}{2}\cos \frac{t-kt}{2}}{2\cos \frac{t+kt}{2}\cos \frac{t-kt}{2}}=-tg\: \frac{k+1}{2}t.$
При $t=0$ получим $\displaystyle \frac{dy}{dx}=0$. Согласно геометрическому значению производной (§ 1) в точке $\displaystyle (0;k+1)$, где $t=0$, касательная к графику данной функции параллельна оси $Ox$.
2) Находим производные от $x$ и от $y$ по параметру $\displaystyle \alpha$:
$\displaystyle \frac{dx}{d\alpha }=2\alpha +2;\; \frac{dy}{d\alpha }=\frac{1}{\alpha +1}$
и искомую производную от $y$ по $x$:
$\displaystyle y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{d\alpha }:\frac{dx}{d\alpha }=\frac{1}{2(\alpha +1)^{2}}=\frac{1}{2}(\alpha +1)^{-2}.$
Далее находим производную от $y'$ по $\displaystyle \alpha$, а затем искомую вторую производную от $y$ по $x$ как отношение производных от $y'$ и от $x$ по $\displaystyle \alpha$:
$\displaystyle \frac{dy'}{d\alpha }=-(\alpha +1)^{-3};\: y''=\frac{dy'}{dx}=\frac{dy'}{d\alpha }:\frac{dx}{d\alpha }=\frac{-(\alpha +1)^{-3}}{2(\alpha +1)}=-\frac{1}{2(\alpha +1)^{4}}.$
3) Пользуясь общими формулами (А) для производных от функции, заданной параметрически, получим
$\displaystyle y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{d\varphi }:\frac{dx}{d\varphi }=\frac{a-ae^{-a\varphi }}{ae^{a\varphi }}=e^{-a}-e^{-2a\varphi };$
$\displaystyle y''=\frac{dy'}{dx}=\frac{dy'}{d\varphi }:\frac{dx}{d\varphi }=\frac{2ae^{-2a\varphi }-ae^{-a\varphi }}{ae^{a\varphi }}=2e^{-3a\varphi }-e^{-2a\varphi };$
$\displaystyle y'''=\frac{dy''}{dx}=\frac{dy''}{d\varphi }:\frac{dx}{d\varphi }=\frac{2ae^{-2a\varphi }-6ae^{-3a\varphi }}{ae^{a\varphi }}=2e^{-3a\varphi }-6e^{-4a\varphi }.$