Производные простейших тригонометрических функций. Практикум по математическому анализу. Урок 27

На практике производные элементарных функций находятся по формулам и правилам дифференцирования, как это разъясняется в последующих примерах.
Таблица производных:
1) $\displaystyle {(c)}'=0$
2) $\displaystyle {u+v-w}'={u}'+{v}'-{w}'$
3) $\displaystyle {uv}'={u}'v+{v}'u$
4) $\displaystyle {\left ( \frac{u}{v} \right )}'=\frac{{u}'v-{v}'u}{v^{2}}$
4a) $\displaystyle {\left ( \frac{u}{c} \right )}'=\frac{{u}'}{c}$
4б) $\displaystyle {\left ( \frac{c}{v} \right )}'=-\frac{c{v}'}{v^{2}}$
5) $\displaystyle {(x^{n})}'=nx^{n-1}$
6) $\displaystyle {(\sin x)}'=\cos x$
7) $\displaystyle {(\cos x)}'=-\sin x$
8) $\displaystyle {(\textrm{tg} x)}'=\frac{1}{\cos^{2}x}$
9) $\displaystyle {(\textrm{ctg} x)}'=-\frac{1}{\sin^{2}x}$

где $c$ — постоянная; $x$ — независимая переменная; $\displaystyle u,v,w$ — функции от $x$.
Пример 1. Пользуясь формулами дифференцирования, найти производные следующих функций:
1) $\displaystyle \varphi (t)=\frac{10}{a\sin t-b\cos t};$
2) $\displaystyle R(\alpha )=\frac{\cos \alpha ctg\: \alpha }{1+2tg\: c}.$
Решение. 1) $\displaystyle \varphi '(t)=\left (\frac{10}{a\sin t-b\cos t} \right )'=-\frac{10(a\sin t-bcos\: t)'}{(a\sin t-b\cos \: t)^{2}}=-\frac{10(acos\: t+b\sin t)}{(a\sin t-b\cos \: t)^{2}}.$
Здесь целесообразнее было применить формулу 4б (постоянный числитель).
2) $\displaystyle R'(\alpha )=\frac{(\cos \alpha ctg\: \alpha)' }{1+2tg\: c}=\frac{-\sin \alpha ctg\: \alpha +cos\: \alpha (-\frac{1}{\sin ^{2}\alpha })}{1+2tg\: c}=-\frac{\cos \alpha (1+\frac{1}{\sin ^{2}\alpha })}{1+2tg\: c}=-\frac{\cos \alpha (\sin ^{2}\alpha+1)}{\sin ^{2}\alpha(1+2tg\: c)}.$
Пример 2. Найти производную данной функции и затем вычислить ее частное значение при указанном значении аргумента: $\displaystyle z=\frac{\cos t}{1-\sin t},\; t=\frac{\pi }{6}.$
Решение. По формуле 4 найдем:
$\displaystyle z'=\frac{(\cos t)'(1-\sin t)-\cos t(1-\sin t)'}{(1-\sin t)^{2}}=\frac{-\sin t(1-\sin t)-\cos t(-\cos t)}{(1-\sin t)^{2}}=\frac{-\sin t+\sin ^{2}t+\cos ^{2}t}{(1-\sin t)^{2}}=\frac{1}{1-\sin t}$
Полагая $\displaystyle t=\frac{\pi }{6}$, получим $\displaystyle z'\left ( \frac{\pi }{6} \right )=\frac{1}{1-0,5}=2.$