Площадь треугольника. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 2. Урок 49

Площадь треугольника равна половине произведения любой его стороны на высоту, проведённую к этой стороне: $\displaystyle S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH$ (см. рис. 1).

Рис.1

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними: $\displaystyle S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BA\cdot AC\cdot \sin \angle A$ (cм. рис.1).
Треугольники с равной площадью называются равновеликими.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: $\displaystyle S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC$ (см. рис.2).

Рис.2

Если $\displaystyle \bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}$ и $\displaystyle \frac{AB}{A_{1}B_{1}}=\frac{AC}{A_{1}C_{1}}=\frac{BC}{B_{1}C_{1}}=k$,
то $\displaystyle \frac{S_{ABC}}{S_{A_{1}B_{1}C_{1}}}=k^{2}.$
Задача 1. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке 3.

Рис.3

Решение.
По теореме Пифагора $\displaystyle CB^{2}+AC^{2}=AB^{2}$,
$\displaystyle CB=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4,S_{ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot CB=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6.$
Ответ: 6.
Задача 2. Найдите площади треугольников, изображённых на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.4). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Рис.4

Решение.
а) Треугольник является прямоугольным. По рисунку катеты равны 3 и 5, площадь $\displaystyle S=3\cdot 5\cdot \frac{1}{2}=7,5.$
Проведём высоты на рисунках б) и в) (см. рис. 5).

Рис.5

Найдём площадь $S$ по формуле $\displaystyle S=\frac{1}{2}ah$.
б) $\displaystyle S=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 4=14$; в) $\displaystyle S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 6=9$.
Ответ: а) 7,5, б) 14, в) 9.
Задача 1. Найдите площадь $\displaystyle \bigtriangleup ABC$, изображённого на рисунке 6.
Решение.

Рис.6

$\displaystyle \bigtriangleup ABC$ - равнобедренный, высота $BH$ является медианой, то есть $\displaystyle AH=HC=14:2=7$.
Найдём высоту $BH$ из прямоугольного $\displaystyle \bigtriangleup ABH$.
$\displaystyle BH^{2}=AB^{2}-AH^{2}=25^{2}-7^{2}=576,\; BH=24.$
$\displaystyle S_{ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 14\cdot 24=168.$
Ответ: 168.