Равенство и подобие треугольников. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 2. Урок 46

Сумма углов треугольника равна 180°.
Сумма двух сторон треугольника больше третьей.
Против большей стороны треугольника лежит больший угол.
Против большего угла треугольника лежит его большая сторона.
Треугольник, у которого один угол тупой, называется тупоугольным.

Внешние углы треугольника

Угол, смежный с каким-нибудь углом треугольника, называется внешним углом треугольника. Например, $\displaystyle \angle CBK$ (см. рис.1) — внешний угол $\displaystyle \bigtriangleup ABC$.

Рис.1

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним $\displaystyle \angle CBK=\angle BCA+\angle BAC$, (см. рис.1).

Равенство треугольников

Равные треугольники — это такие треугольники, которые можно совместить друг с другом, наложив друг на друга так, чтобы они совпали.

Признаки равенства треугольников

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рис.2

Например, если $\displaystyle AB=A_{1}B_{1},AC=A_{1}C_{1},\angle A=\angle A_{1}$ (см. рис.2), то $\displaystyle \bigtriangleup ABC=\bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}$.
2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рис.3

Например, если $\displaystyle AC=A_{1}C_{1},\angle BAC=\angle B_{1}A_{1}C_{1}$ и $\displaystyle \angle BCA=\angle B_{1}C_{1}A_{1}$, то $\displaystyle \bigtriangleup ABC=\bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}$ (см. рис.3).
3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рис.4

Например, если $\displaystyle AB=A_{1}B_{1},BC=B_{1}C_{1},AC=A_{1}C_{1}$, то $\displaystyle \bigtriangleup ABC=\bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}$ (см. рис.4).

Подобие фигур

Часто встречаются фигуры, которые имеют разные размеры, но одинаковую форму, например, все круги или все квадраты. Такие фигуры называют подобными.
Треугольники $ABC$ и $\displaystyle A_{1}B_{1}C_{1}$ подобны друг другу ($\displaystyle \bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}$), если $\displaystyle \angle A=\angle A_{1},\angle B=\angle B_{1},\angle C=\angle C_{1}$ и $\displaystyle \frac{AB}{A_{1}B_{1}}=\frac{AC}{A_{1}C_{1}}=\frac{BC}{B_{1}C_{1}}=k$, где $k$ называют коэффициентом подобия (см. рис.5).

Рис.5

В подобных треугольниках медианы, биссектрисы, высоты и периметры пропорциональны с тем же коэффициентом. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
$\displaystyle \frac{S_{ABC}}{S_{A_{1}B_{1}C_{1}}}=\left ( \frac{AB}{A_{1}B_{1}} \right )^{2}=k^{2}$

Признаки подобия треугольников

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
Например, если $\displaystyle \angle A=\angle A_{1},\angle B=\angle B_{1}$, то $\displaystyle \bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}$ (см. рис.6).

Рис.6

2. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими двумя сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Рис.7

Например, если $\displaystyle \frac{A_{1}B_{1}}{AB}=\frac{A_{1}C_{1}}{AC}$ и $\displaystyle \angle A=\angle A_{1}$, то $\displaystyle \bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}$ (см. рис.7).
3. Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Рис.8

Например, если $\displaystyle \frac{A_{1}B_{1}}{AB}=\frac{A_{1}C_{1}}{AC}=\frac{B_{1}C_{1}}{BC}$, то $\displaystyle \bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}$ (см. рис.8).
Задача 1. Найдите градусную меру угла $\displaystyle \angle ?$ треугольника $ABC$ (см. рис.9), если $\displaystyle \angle A=120^{\circ},\angle B=30^{\circ}$.

Рис.9

Решение.
$\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$, откуда $\displaystyle 120^{\circ}+30^{\circ}+\angle C=180^{\circ},\angle C=30^{\circ}$.
Ответ: 30.
Задача 2. Найдите градусную меру меньшего угла между биссектрисами углов $\displaystyle \bigtriangleup ABC$, проведёнными из вершин $A$ и $C$, если $\displaystyle \angle B=110^{\circ},\angle C=24^{\circ}$.
Решение.
Найдём угол $A$, используя теорему о сумме углов треугольника.

Рис.10

$\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ},\; \angle A=180^{\circ}-110^{\circ}-24^{\circ}=46^{\circ}$.
$\displaystyle AA_{1}$ и $\displaystyle CC_{1}$ — биссектрисы (см. рис.10), поэтому $\displaystyle \angle MCA=\angle C:2=24^{\circ}:2=12^{\circ}$.
Меньший угол между биссектрисами — это внешний угол $\displaystyle \bigtriangleup AMC,\angle A_{1}MC=\angle MAC+\angle MCA=23^{\circ}+12^{\circ}=35^{\circ}$.
Ответ: 35.
Задача 3. Найдите сторону $\displaystyle A_{1}C_{1}$ треугольника $\displaystyle A_{1}B_{1}C_{1}$, если
$\displaystyle \angle B_{1}A_{1}C_{1}=\angle BAC,\angle B_{1}C_{1}A_{1}=\angle BCA,AC=10,B_{1}C_{1}=4,BC=8$ (см. рис.11).
Решение.
$\displaystyle \bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}$ по двум углам (первый признак подобия треугольников).
$\displaystyle \frac{B_{1}C_{1}}{BC}=\frac{A_{1}C_{1}}{AC};\frac{4}{8}=\frac{A_{1}C_{1}}{10};A_{1}C_{1}=10\cdot \frac{4}{8}=5.$
Ответ: 5.

Рис.11