Векторы и координаты. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 2. Урок 57

Векторы
Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая — концом, называется вектором.
Точка плоскости называется нулевым вектором.
Длиной или модулем вектора $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ называется длина отрезка $AB$. Длина вектора обозначается $\displaystyle \left | \overrightarrow{AB} \right |$.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Коллинеарные векторы бывают сонаправленными ($\vec{a}$ ↑↑ $\vec{b}$) (см. рис.1) и противоположно направленными ($\vec{a}$ ↓↓ $\vec{b}$) (см. рис.2).

Рис.1                                                                Рис.2

Сумма и разность векторов
1. $\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$;
2. $\displaystyle \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$;
3. $\displaystyle \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$.
На рисунке 3 показано, как построить сумму и разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Рис.3

4. Умножение вектора на число.
$\displaystyle k\cdot \vec{a}$ — такой вектор, длина которого равна $\left | k \right |\cdot \left | \vec{a} \right |$ и который при $k>0$ сонаправлен с $\vec{a}$, при $k<0$ противоположно направлен $\vec{a}$ (см. рис.4).

Рис.4

5. Если $M$ — середина $AB$, то $\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2}$.
Скалярное произведение векторов и его свойства
$\displaystyle \vec{a}\cdot \vec{b}=\left | \vec{a} \right |\cdot \left | \vec{b} \right |\cdot \cos \alpha$, где $\alpha$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (см. рис.5)
$\displaystyle \vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a};$
$\displaystyle \vec{a}\cdot \left (\vec{b}+\vec{c} \right )=\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{a}\cdot \vec{c};$

Рис.5

$\displaystyle \left | \vec{a} \right |^{2}=\vec{a}\cdot \vec{a}=\vec{a}^{2};$
$\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=0\; \Leftrightarrow \; \vec{a}\perp \vec{b};$
$\displaystyle \left | \vec{a} \right |+\left | \vec{b} \right |\geq \left | \vec{a}+\vec{b} \right |\geq \left | \vec{a} \right |-\left | \vec{b} \right |.$
Координаты вектора
Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть координаты начала. Если точки $A$ и $B$ заданы координатами $A(x_{1};y_{1})$ и $B(x_{2};y_{2})$, то координаты вектора
$\displaystyle \overrightarrow{AB}\left \{x_{2}-x_{1};y_{2}-y_{1} \right \}$.
Длина отрезка $\displaystyle AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$.
Например, на рисунке 6 координаты точек $A(5;1),B(1;3)$. Координаты вектора $\overrightarrow{AB}\left \{ 1-5;3-1 \right \}$, то есть $\overrightarrow{AB}\left \{-4;2 \right \}$. $\displaystyle \left | \overrightarrow{AB} \right |=\sqrt{(-4)^{2}+2^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

Рис.6

Координаты середины отрезка следует находить по формулам
$\displaystyle x_{c}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2};\; y_{c}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}.$
Например, на рисунке 6 координаты середины отрезка $AB$ равны $\displaystyle x=\frac{1+5}{2}=3;\; y=\frac{1+3}{2}=2.$
Если $\displaystyle \vec{a}\left \{ x_{1};y_{1} \right \},\vec{b}\left \{ x_{2};y_{2} \right \}$, то
1. вектор $\vec{a}+\vec{b}$ имеет координаты $\displaystyle \left \{ x_{1}+x_{2};y_{1}+y_{2} \right \}$;
2. вектор $\vec{a}-\vec{b}$ имеет координаты $\displaystyle \left \{ x_{1}-x_{2};y_{1}-y_{2} \right \}$;
3. вектор $\displaystyle k\vec{a}$ имеет координаты $\displaystyle \left \{ kx_{1};ky_{1} \right \}$;
4. $\displaystyle \left | \vec{a} \right |=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}};$
5. $\displaystyle \vec{a}\cdot \vec{b}=x_{1}\cdot x_{2}+y_{1}\cdot y_{2}$.
Задача 1. Найдите координаты векторов $\displaystyle \vec{a}+\vec{b},\vec{a}-\vec{b},5\vec{a}$, если известно, что $\displaystyle \vec{a}\left \{ 2;-3 \right \},\vec{b}\left \{ -5;-2 \right \}$.
Решение.
$\displaystyle \vec{a}+\vec{b}=\left \{ 2+(-5);-3+(-2) \right \}=\left \{ -3;-5 \right \}.$
$\displaystyle \vec{a}-\vec{b}=\left \{ 2-(-5);-3-(-2) \right \}=\left \{7;-1 \right \}.$
$\displaystyle 5\vec{a}=\left \{ 5\cdot 2;5\cdot (-3) \right \}=\left \{10;-15 \right \}.$
Ответ: {-3; -5}, {7; -1}, {10; -15}.
Задача 2. Найдите скалярное произведение векторов $\displaystyle \overrightarrow{AB}\left \{ 3;8 \right \}$ и $\displaystyle \overrightarrow{MN}\left \{ -2;3 \right \}$.
Решение.
$\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{MN}=x_{\vec{AB}}\cdot x_{\vec{MN}}+y_{\vec{AB}}\cdot y_{\vec{MN}}=3\cdot (-2)+8\cdot 3=18.$
Ответ: 18.
Задача 3. Длина вектора $\vec{a}$ равна 4, длина вектора $\vec{b}$ равна 10, а длина вектора $\vec{c}$ равна 5. Найдите $\vec{a}\cdot \vec{b}$ и $\vec{a}\cdot \vec{c}$, если известно, что угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен 120°, а векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ сонаправлены.
Решение.
$\displaystyle \vec{a}\cdot \vec{b}=\left | \vec{a} \right |\cdot \left | \vec{b} \right |\cdot \cos \widehat{\vec{a},\vec{b}}.$
Тогда $\displaystyle \vec{a}\cdot \vec{b}=4\cdot 10\cdot \cos 120^{\circ}=40\cdot \left ( -\frac{1}{2} \right )=-20.$
По условию, $\displaystyle \vec{a}$↑↑ $\displaystyle \vec{c}$ значит, между ними угол 0°, то есть $\displaystyle \vec{a}\cdot \vec{c}=4\cdot 5\cdot \cos 0^{\circ}=4\cdot 5\cdot 1=20$.
Ответ: -20; 20.
Задача 4. Длина вектора $\vec{m}$ равна 12, длина вектора $\vec{k}$ равна 5. Найдите длину вектора $\vec{m}-\vec{k}$, если вектор $\vec{m}$ перпендикулярен вектору $\vec{k}$.
Решение.
Построим рисунок 7.

Рис.7

$\displaystyle \vec{m}\perp \vec{k}$, поэтому $\displaystyle \left | \vec{m}-\vec{k} \right |$ можно найти как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 5 и 12. $\displaystyle \left | \vec{m}-\vec{k} \right |=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13.$
Ответ: 13.
Задача 5. Найдите отрицательную координату $y$ если расстояние от точки $M(1;y)$ до точки $K(4;-3)$ равно 5.
Решение.
Запишем расстояние от $M$ до $K$: $\displaystyle MK=\sqrt{(4-1)^{2}+(-3-y)^{2}}=5$.
Тогда $\displaystyle 3^{2}+(3+y)^{2}=25,\; (3+y)^{2}=16,$
$\displaystyle \left [ \begin{matrix} 3+y=4,\\ 3+y=-4; \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} y=1,\\ y=-7. \end{matrix} \right.$
Выберем отрицательную координату $y=-7$.
Ответ: -7.