Площадь четырёхугольника (задачи на клетчатой бумаге). Готовимся к егэ по математике. Геометрия. Урок 3

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон: $\displaystyle S=ab.$
На рисунке 1 приведены чертежи некоторых прямоугольников, у которых показаны смежные стороны $a$ и $b$ .

Рис. 1

Задача 1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображён прямоугольник (см. рис.2). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Рис. 2

Решение. 1-й способ.
Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон $a$ и $b$ . Для того чтобы найти стороны прямоугольника, рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AB$ = 2 и $BC$ = 1 и гипотенузой $AC$ = 6 (см. рис. 3).

Рис. 3

По теореме Пифагора гипотенуза $AC = b$ равна $\displaystyle \sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$ . Из треугольника $CDE$ с катетами $CD = 4$ и $DE = 2$ найдём гипотенузу $CE$ . $\displaystyle a=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{20}$ . Следовательно, площадь прямоугольника $\displaystyle S=\sqrt{20}\cdot \sqrt{5}=10$ .
Ответ: 10.
2-й способ.
Достроим прямоугольник $ACEH$ до прямоугольника $BKMD$ (см. рис.4). Чтобы найти площадь $ACEH$ , нужно из площади прямоугольника $BKMD$ вычесть площади прямоугольных треугольников $AKH$ , $HME$ , $EDC$ и $ABC$ .

Рис. 4

Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, то площадь каждого из двух больших треугольников ( $AKH$ и $EDC$ ) равна 4, а площадь каждого из двух маленьких треугольников ( $HME$ и $ABC$ ) равна 1. Площадь прямоугольника $BKMD$ равна $\displaystyle 4\cdot 5=20$ . Следовательно, площадь искомого прямоугольника будет равна
20 - 1 - 1 - 4 - 4 = 10.
Ответ: 10.
Заметим, что подобным «достраиванием» можно найти площадь любого многоугольника на клетчатой бумаге.
Задача 2. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображён четырёхугольник (см. рис. 5). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Рис. 5

Решение.
Достроим четырёхугольник до прямоугольника (см. рис. 5).
Чтобы найти площадь четырёхугольника, нужно из площади прямоугольника со сторонами 5 и 6 вычесть площади четырёх прямоугольных треугольников и квадрата. Попробуйте посчитать площади прямоугольных треугольников самостоятельно, величины этих площадей указаны на рисунке.
Получаем площадь заданного четырёхугольника:
$S$ = 30 - 7,5 - 6 - 1 - 4,5 - 4 = 7 .
Ответ: 7.