Увеличение и уменьшение геометрических тел. Готовимся к ЕГЭ по математике. Геометрия. Урок 31

При увеличении всех линейных измерений тела в $k$ раз площадь поверхности этого тела увеличивается в $\displaystyle k^{2}$ раз, а объём этого тела — в $\displaystyle k^{3}$ раз. Например, при увеличении радиуса шара в 5 раз площадь его поверхности увеличится в 25 раз, а объём — в 125 раз.
Объём параллелепипеда, призмы, цилиндра и конуса прямо пропорционален высоте и площади основания.
Задача 1. Во сколько раз увеличится объём куба, если его рёбра увеличить в 4 раза?
Решение.
Объём куба прямо пропорционален третьей степени его ребра, поэтому объём увеличится в $\displaystyle 4^{3}=64$ раза.
Ответ: 64.
Задача 2. Во сколько раз увеличится объём правильного тетраэдра, если все его рёбра увеличить в три раза?
Решение.
При увеличении всех линейных размеров тетраэдра в 3 раза его объём увеличится в $\displaystyle 3^{3}=27$ раз.
Ответ: 27.
Задача 3. Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличить в 2,5 раза?
Решение.
Объём конуса прямо пропорционален площади основания. Площадь основания равна $\displaystyle \pi r^{2}$, то есть прямо пропорциональна квадрату радиуса. Таким образом, при увеличении радиуса основания в 2,5 раза объём увеличится в $\displaystyle 2,5^{2}=6,25$ раз.
Ответ: 6,25.