Ограниченность функции
Функция у = f(x) называется ограниченной, если ее область значений ограничена, т. е. если все ее значения лежат на каком-нибудь конечном промежутке. В противном случае функцию называют неограниченной.
Примеры функций, ограниченных на всей области определения:
Замечание 1. Можно дать следующее определение ограниченности функции: функция у = f(x) называется ограниченной на всей области определения D(f), если существует такое число С>0, что |f(x)|≤C для каждой точки x∈D(f).
Замечание 2. Функция y = f(x) называется ограниченной на множестве X⊂D(f), если существует такое число С>0, что |f(x)|≤C для каждого х є X.
Функция, ограниченная на некотором множестве X⊂D(f), может быть неограниченной на всей области определения. Например, функция у = 1/х ограничена при х є [1/10;10], но на всей области определения она является неограниченной.
Монотонность функции
Функция у = f(x) называется возрастающей на данном числовом промежутке X, если большему значению аргумента хєX соответствует большее значение функции f(x), т. е. для любых x1,х2ЄX из x2>x1 => f(x2)>f(x1).
Функция у = f(x) называется убывающей на данном числовом промежутке X, если большему значению аргумента хєX соответствует меньшее значение функции f(x), т. е. для любых x1,х2ЄX из x2>x1 => f(x2)<f(x1).
Функция, только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной на этом промежутке.
Примеры монотонных функций на всей области определения:
Функция у =x² не является монотонной на всей области определения, однако при хє(—∞;0) она является убывающей, а при хє(0;+∞) у = х² является возрастающей. Функция y=sinx не является монотонной на всей области определения, однако внутри каждого из интервалов
она является возрастающей, а внутри каждого из интервалов
— убывающей.
