Допустимые значения переменных. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 1. Урок 17

• Допустимые значения переменных — это значения, при которых алгебраическое выражение имеет смысл.
• Если в выражении есть дробь, то знаменатель дроби должен быть отличен от нуля.
Например, для выражения $\displaystyle \frac{b}{a-2}$ допустимыми являются значения переменных, удовлетворяющие условию $\displaystyle a-2\neq 0$, то есть $\displaystyle a\neq 2$.
• Если в алгебраическом выражении есть квадратный корень, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно.
Например, для выражения $\displaystyle \sqrt{y+3}$ допустимыми являются значения переменных, удовлетворяющие условию $\displaystyle y+3\geq 0$, то есть $\displaystyle y\geq -3$.

Пример 1. Найдите допустимые значения переменной $b$ в выражении $\displaystyle \frac{b}{\sqrt{b-5}}$
Решение.
Выражение под корнем должно быть неотрицательным, поэтому 6 — 5^0, 6^5. Кроме того, знаменатель должен быть отличен от нуля, поэтому $\displaystyle \sqrt{b-5}\neq 0,\; b-5\geq 0,\; b\geq 5$. Таким образом, одновременно должно выполняться $\displaystyle b\geq 5$ и $\displaystyle b\neq 5$, следовательно, $\displaystyle b>5$.
Ответ: $\displaystyle b>5$.
Пример 2. Найдите количество целых чисел, входящих в область допустимых значении переменной $x$ в выражении $\displaystyle \frac{3-\sqrt{10-x}}{\sqrt{x-3}}$.
Решение. 1-й способ.
В числителе под корнем стоит выражение $\displaystyle 10-x$, поэтому $\displaystyle 10-x\geq 0,\; x\leq 10$. В знаменателе под корнем стоит выражение $\displaystyle x-3$, поэтому $\displaystyle x-3\geq 0$. Кроме того, знаменатель должен быть отличен от нуля, поэтому последнее неравенство должно быть строгим: $\displaystyle x-3>0,\; x>3$. Мы нашли область допустимых значений: $\displaystyle 3<x\leq 10$. В неё входят целые числа 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 — всего 7 чисел.
2-й способ.
Покажем запись решения, если рассуждения выполнять устно.
$\displaystyle \left\{\begin{matrix} 10-x\geq 0,\\ x-3>0; \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 10,\\ x>3. \end{matrix}\right.$
Неравенство $\displaystyle 3<x\leq 10$ имеет 7 целых решений: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Ответ: 7.