График функции - гипербола. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 1. Урок 39

График функции, заданной формулой вида $\displaystyle y=\frac{k}{x}$ или $\displaystyle y=\frac{k}{x-m}+n$, $\displaystyle k\neq 0$, — гипербола.
Область определения функции, заданной формулой $\displaystyle y=\frac{k}{x}$, — все действительные числа, кроме 0, значит, график этой функции не пересекает ось ординат. Аналогично график, заданный $\displaystyle y=\frac{k}{x-m}+n$, не будет проходить ни через одну точку плоскости с абсциссой $m$ (то есть не пересекает вертикальную прямую $x=m$).
В зависимости от значений, которые принимают параметры $k$, гипербола $\displaystyle y=\frac{k}{x}$ - может быть по-разному расположена на декартовой плоскости. При $k>0$ гипербола расположена в I и III четвертях, при $k<0$ — во II и IV (см. рис. 1).

Рис.1

При наличии параметров $m$ и $n$ график гиперболы получается из графика $\displaystyle y=\frac{k}{x}$ параллельным переносом вправо вдоль оси $Ox$ на $m$ и вверх вдоль оси $Oy$ на $n$ (см. рис. 2).

Рис.2

Пример 1. Установите соответствие между графиками функций (см. рис. 3) и формулами, которые их задают.

Рис. 3

1) $\displaystyle y=-\frac{2}{x}$; 2) $\displaystyle y=\frac{2}{x+1}$; 3 ) $\displaystyle y=\frac{1}{x}$; 4) $\displaystyle y=-\frac{1}{x}$.
Решение. Все три графика — гиперболы, то есть заданы формулами вида $\displaystyle y=\frac{k}{x}$ или $\displaystyle y=\frac{k}{x-m}+n$.
Для графика А значение параметра $k<0$, значит, он может быть задан формулами 1 или 4. Проверим точку (1; -2), через которую проходит этот график. Формула номер 1: $\displaystyle y(1)=-\frac{2}{1}=-2$ — подходит. Формула номер 4: $\displaystyle y(1)=-\frac{1}{1}=-1\neq -2$ — не подходит. Следовательно, из предложенных формул графику А соответствует формула 1. Для графика Б выполняется $\displaystyle k>0$, значит, он может быть задан формулами 2 или 3. Проверим точку (—1;-1), через которую проходит этот график (точку (1; 1) брать нецелесообразно, так как график В также проходит через неё). Формула 2: $\displaystyle y(-1)=\frac{2}{-1+1}$ — не определено, поэтому не подходит.
Формула 3: $\displaystyle y(-1)=\frac{1}{-1}=-1$ — подходит. Следовательно, из предложенных формул графику Б соответствует формула 3.
Для графика В выполняется $k>0$, значит, он может быть задан формулами 2 или 3. Так как из них неиспользованной осталась только формула 2, то она и задаёт этот график.
Ответ: А-1; Б-3; В-2.