График функции - парабола. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 1. Урок 38

График функции, заданной формулой вида $\displaystyle y=ax^{2}+bx+c$ или $\displaystyle y=a(x-m)^{2}+n$, где $\displaystyle a\neq 0$, — парабола. Вершина параболы находится в точке с абсциссой, равной $\displaystyle m=-\frac{b}{2a}$, и в зависимости от знака параметра $a$ и знака выражения $\displaystyle D=b^{2}-4ac$ график может принимать различный вид (см. рис. 1).

Рис. 1

При $\displaystyle a>0$ ветви параболы направлены вверх, при $\displaystyle a<0$ — вниз. Знак дискриминанта $D$ показывает, пересекает ли парабола ось абсцисс. При $\displaystyle D>0$ парабола пересекает ось абсцисс дважды, при $\displaystyle D=0$ — один раз (вершина параболы лежит на оси абсцисс). При $\displaystyle D<0$ парабола не пересекает ось абсцисс.
Пример 1. Установите соответствие между графиками функций (см. рис. 2) и формулами, которые их задают.

Рис. 2

1) $\displaystyle y=-x^{2}+2$; 2) $\displaystyle y=(x+1)^{2}$; 3) $\displaystyle y=(x-1)^{2}$; 4) $\displaystyle y=-x^{2}$.
Решение. Все три графика — параболы, то есть заданы формулами вида $\displaystyle y=ax^{2}+bx+c$ или $\displaystyle y=a(x-m)^{2}+n$.
На графике А ветви параболы направлены вниз, значит, параметр $\displaystyle a<0$. Этому условию отвечают формулы 1 и 4, но так как график А проходит через точку плоскости с координатами (0;0), а график, заданный формулой 1, через неё не проходит (при $\displaystyle x=0\; y=2\neq 0$), то графику А соответствует формула 4. На графике Б ветви параболы направлены вверх, $\displaystyle a>0$, и он может быть задан формулой 2 или 3, но так как вершина параболы лежит на оси $Ox$ в точке с абсциссой $\displaystyle x=-1$, то $\displaystyle y(-1)=0$. Формула 3 не подходит, так как для неё $\displaystyle y(-1)=(-1-1)^{2}\neq 0$. Графику Б соответствует формула 2: $\displaystyle y=(x+1)^{2}$.
На графике В ветви параболы направлены вниз, $\displaystyle a<0$, и ему могут соответствовать формулы 1 и 4. Так как $\displaystyle y(0)=2$, то формула 4 не подходит (в ней $\displaystyle y(0)=-0^{2}=0$), следовательно, график В задаёт формула 1.
Ответ: А-4; Б-2; В-1.
Замечание. Для параболы при проверке соответствия графика одной из нескольких формул удобно использовать сравнение координат вершины параболы, изображённой на графике, и координат вершин парабол, задаваемых формулами. Если эти координаты для двух формул совпадают, следует
выбирать ещё одну дополнительную точку графика для проверки.