Иррациональные числа. Готовимся к ОГЭ по математике. Урок 12

Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.
При любом $\displaystyle a\geq 0$ выражение $\displaystyle \sqrt{a}$ имеет смысл. Если $\displaystyle a<0$, то выражение $\displaystyle \sqrt{a}$ не имеет смысла. Из определения арифметического корня следует, что если выражение $\displaystyle \sqrt{a}$ имеет смысл, то $\displaystyle \sqrt{a}\geq 0$ и $\displaystyle \left ( \sqrt{a} \right )^{2}=a$.
Свойства арифметического квадратного корня
1) Если $\displaystyle a\geq 0,\; b\geq 0$, то $\displaystyle \sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}.$
2) Если $\displaystyle a\geq 0,\; b>0$, то $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.$

Пример 1. Найдите значение выражения:
а) $\displaystyle \sqrt{2500};$ б) $\displaystyle -\sqrt{0,0004};$ в) $\displaystyle 2\sqrt{\frac{81}{16}};$ г) $\displaystyle \frac{7}{22}\cdot \sqrt{1,21}.$
Решение.
а) $\displaystyle \sqrt{2500}=\sqrt{25\cdot 100}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{100}=5\cdot 10=50.$
б) $\displaystyle -\sqrt{0,0004}=-\sqrt{\frac{4}{10000}}=-\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{10000}}=-\frac{2}{100}=-0,02.$
в) $\displaystyle 2\sqrt{\frac{81}{16}}=2\cdot \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}}=2\cdot \frac{9}{4}=\frac{9}{2}=4,5.$
г) $\displaystyle \frac{7}{22}\cdot \sqrt{1,21}=\frac{7}{22}\cdot \sqrt{\frac{121}{100}}=\frac{7\cdot 11}{22\cdot 10}=0,35.$
Ответ: а) $50$; б) $-0,02$; в) $4,5$; г) $0,35$.
Пример 2. Внесите множитель под знак корня:
а) $\displaystyle 5\sqrt{3}$; б) $\displaystyle -3\sqrt{7}$.
Решение.
а) $\displaystyle 5\sqrt{3}=\sqrt{5^{2}\cdot 3}=\sqrt{25\cdot 3}=\sqrt{75}.$
б) $\displaystyle -3\sqrt{7}=-\sqrt{3^{2}\cdot 7}=-\sqrt{9\cdot 7}=-\sqrt{63}.$
Ответ: а) $\displaystyle \sqrt{75}$; б) $\displaystyle -\sqrt{63}$.
Пример 3. Упростите выражение:
а) $\displaystyle \sqrt{27}-\sqrt{3}$; б) $\displaystyle \sqrt{125}-2\sqrt{5};$
в) $\displaystyle \frac{\sqrt{216}}{9}+\frac{\sqrt{6}}{3};$ г) $\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \sqrt{28}-\sqrt{7}.$
Решение.
а) $\displaystyle \sqrt{27}-\sqrt{3}=\sqrt{9\cdot 3}-\sqrt{3}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{3}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}.$
б) $\displaystyle \sqrt{125}-2\sqrt{5}=\sqrt{25\cdot 5}-2\sqrt{5}=5\sqrt{5}-2\sqrt{5}=3\sqrt{5}.$
в) $\displaystyle \frac{\sqrt{216}}{9}+\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{36\cdot 6}}{9}+\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{36}\cdot \sqrt{6}}{9}+\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{6\sqrt{6}}{9}+\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{2\sqrt{6}}{9}+\frac{\sqrt{6}}{3}=\sqrt{6}.$
г) $\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \sqrt{28}-\sqrt{7}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{4\cdot 7}-\sqrt{7}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{4}\cdot \sqrt{7}-\sqrt{7}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \sqrt{7}-\sqrt{7}=\sqrt{7}-\sqrt{7}=0.$
Ответ: а) $\displaystyle 2\sqrt{3}$; б) $\displaystyle 3\sqrt{5}$; в) $\displaystyle \sqrt{6}$; г) $0$.
Пример 4. Вычислите $\displaystyle \sqrt{3\frac{1}{16}}-2\sqrt{0,25}.$
Решение.
$\displaystyle \sqrt{3\frac{1}{16}}-2\sqrt{0,25}=\sqrt{\frac{49}{16}}-2\cdot 0,5=\frac{7}{4}-1=1,75-1=0,75.$
Ответ: $0,75$.
Пример 5. Вычислите $\displaystyle \frac{1}{5}\sqrt{3\cdot 75}+4\cdot \sqrt{5\cdot \frac{1}{20}}.$
Решение.
$\displaystyle \frac{1}{5}\sqrt{3\cdot 75}+4\cdot \sqrt{5\cdot \frac{1}{20}}=\frac{1}{5}\sqrt{225}+4\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{5}\cdot 15+4\cdot \frac{1}{2}=3+2=5.$
Ответ: $5$.
Пример 6. Найдите значение выражения $\displaystyle \sqrt{b^{2}}-\sqrt{11}$ при $\displaystyle b=\sqrt{11}$.
Решение.
Подставим $\displaystyle b=\sqrt{11}$ в выражение $\displaystyle \sqrt{b^{2}}-\sqrt{11}$. Получим
$\displaystyle \sqrt{(\sqrt{11})^{2}}-\sqrt{11}=\sqrt{11}-\sqrt{11}=0.$
Ответ: $0$.
Пример 7. Упростите выражение $\displaystyle \left ( 7\sqrt{3}+17\sqrt{48}-\sqrt{147} \right ):\left ( 2\sqrt{3} \right ).$
Решение.
$\displaystyle \left ( 7\sqrt{3}+17\sqrt{48}-\sqrt{147} \right ):\left ( 2\sqrt{3} \right )=\left ( \sqrt{147}+17\sqrt{48}-\sqrt{147} \right ):\left ( 2\sqrt{3} \right )=$
$\displaystyle =\frac{17\sqrt{48}}{2\sqrt{3}}=\frac{17}{2}\sqrt{\frac{48}{3}}=\frac{17}{2}\sqrt{16}=\frac{17\cdot 4}{2}=34.$
Ответ: $34$.
Пример 8. Сократите дробь $\displaystyle \frac{25-y}{5-\sqrt{y}}$, если $\displaystyle \sqrt{y}\neq 5.$
Решение.
$\displaystyle \frac{25-y}{5-\sqrt{y}}=\frac{(5-\sqrt{y})(5+\sqrt{y})}{5-\sqrt{y}}=5+\sqrt{y}.$
Ответ: $\displaystyle 5+\sqrt{y}.$