Иррациональные числа (продолжение). Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 1. Урок 13

Пример 9. Исключите иррациональность из знаменателя:
а) $\displaystyle \frac{3}{\sqrt{7}};$ б) $\displaystyle \frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}.$
Решение.
а) $\displaystyle \frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3\cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{7}}{7}.$
б) $\displaystyle \frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{5(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{5(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\frac{5(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{3-2}=5(\sqrt{3}+\sqrt{2}).$
Ответ: а) $\displaystyle \frac{3\sqrt{7}}{7}.$ б) $\displaystyle 5(\sqrt{3}+\sqrt{2}).$
Пример 10. Найдите значение выражения $\displaystyle 2x^{2}-4\sqrt{3}x-1$, если $\displaystyle x=\sqrt{3}-1$.
Решение.
Подставляя в заданное выражение значение $x$, получим $\displaystyle 2\left ( \sqrt{3}-1 \right )^{2}-4\sqrt{3}\left (\sqrt{3}-1 \right )-1=2\left ( 3-2\sqrt{3}+1 \right )-4\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}+4\sqrt{3}-1=$
$\displaystyle =6-4\sqrt{3}+2-12+4\sqrt{3}-1=-5.$
Ответ: $-5$.
Пример 11. При каких значениях а имеет смысл выражение $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{4a-1}}$?
Решение.
Учитывая, что квадратный корень определён на множестве неотрицательных чисел, а знаменатель дроби отличен от нуля, выражение $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}$ имеет смысл при $t>0$. Значит, выражение $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{4a-1}}$ имеет смысл, если $\displaystyle 4a-1>0$. Отсюда $a>0,25.$
Ответ: $\displaystyle \left ( 0,25;+\infty \right ).$
Пример 12. Найдите наименьшее целое число, входящее в область допустимых значений выражения $\displaystyle \frac{\sqrt{5x-17}}{x-4}.$
Решение.
ОДЗ: $\displaystyle \left\{\begin{matrix} 5x-17\geq 0,\\ x-4\neq 0; \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 3,4,\\ x\neq 4. \end{matrix}\right.$
Следовательно, наименьшим целым числом, входящим в область допустимых значений исходного выражения, является 5.

Ответ: $5.$
Рациональным называется число, которое можно представить в виде $\displaystyle \frac{m}{n}$, где $m$ — целое, $n$ — натуральное. Например, $\displaystyle \frac{2}{3},\; -\frac{4}{9},\; 7.$ Остальные числа называют иррациональными.
Если $\displaystyle \frac{m}{n}>0$ — несократимая дробь (и числитель, и знаменатель нельзя сократить на одно и то же число), то $\displaystyle \sqrt{\frac{m}{n}}$ иррационально.
Сумма рациональных чисел рациональна. Целое число называется чётным, если оно делится на 2, и нечётным в противном случае.
Пример 13. Какое из указанных чисел является рациональным?
1) $\displaystyle \frac{(\sqrt{24}-\sqrt{5})(\sqrt{24}+\sqrt{5})}{\sqrt{19}};$
2) $\displaystyle (\sqrt{17}+\sqrt{3})(\sqrt{17}-\sqrt{3})+\sqrt{5};$
3) $\displaystyle (2+\sqrt{2})^{2}-4\sqrt{2};$
4) $\displaystyle \sqrt{7}+2.$
Решение.
Преобразуем каждое выражение:
1) $\displaystyle \frac{(\sqrt{24}-\sqrt{5})(\sqrt{24}+\sqrt{5})}{\sqrt{19}}=\frac{24-5}{\sqrt{19}}=\sqrt{19}$ - иррациональное число;
2) $\displaystyle (\sqrt{17}+\sqrt{3})(\sqrt{17}-\sqrt{3})+\sqrt{5}=17-3+\sqrt{5}$ — иррациональное число;
3) $\displaystyle (2+\sqrt{2})^{2}-4\sqrt{2}=6+4\sqrt{2}-4\sqrt{2}=6$ — рациональное число;
4) $\displaystyle \sqrt{7}+2$ — иррациональное число.
Ответ: $3$.