Квадратные неравенства. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 1. Урок 28

Квадратное неравенство — это неравенство вида $\displaystyle ax^{2}+bx+c>0,\;$ $\displaystyle ax^{2}+bx+c<0,\;$ $\displaystyle ax^{2}+bx+c\geq 0,\;$ $\displaystyle ax^{2}+bx+c\leq 0,$ где $x$ — переменная, $a,b$ и $c$ — некоторые числа, причём $\displaystyle a\neq 0$. Покажем решение квадратных неравенств на примерах.
Пример 1. Решите неравенство $\displaystyle 2x^{2}+11x-6>0$.

Решение.
1. Решим уравнение $\displaystyle 2x^{2}+11x-6=0$.
$\displaystyle a=2,b=11,c=-6.$
$\displaystyle D=b^{2}-4ac.\; D=11^{2}-4\cdot 2\cdot (-6)=121+48=169,\; D>0,$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a};\; x_{1,2}=\frac{-11\pm \sqrt{169}}{2\cdot 2}=\frac{-11\pm 13}{4};$
$\displaystyle x_{1}=\frac{-11- 13}{4}=-6;\; x_{2}=\frac{-11+13}{4}=\frac{2}{4}=0,5.$
2. Графиком функции $\displaystyle y=2x^{2}+11x-6$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($\displaystyle a=2>0$). Парабола пересекает ось $Ox$ в двух точках, абсциссы которых 0,5 и —6 (см. рис. 1).

3. Вывод: данное неравенство выполняется, если $\displaystyle x<-6$ и $\displaystyle x>0,5$.
Ответ: $\displaystyle (-\infty ;-6)\cup (0,5;+\infty )$.
Покажем, как можно записывать решение квадратного неравенства, если вид графика анализировать устно.
Пример 2. Решите неравенство $\displaystyle x^{2}-11x+24<0$.
Решение.
Решим уравнение $\displaystyle x^{2}-11x+24=0$.
$\displaystyle p=-11,q=24.$
По теореме, обратной теореме Виета, имеем $\displaystyle x_{1}+x_{2}=11,x_{1}\cdot x_{2}=24.$
Следовательно, $\displaystyle x_{1}=3,x_{2}=8.$
Вывод: данное неравенство выполняется, если $\displaystyle 3<x<8$ (см. рис. 2).

Ответ: (3;8).
Пример 3. Решите неравенство $\displaystyle -3x^{2}+16x-5\geq 0$. В ответе укажите наибольшее целое решение неравенства.
Решение.
Решим уравнение $\displaystyle -3x^{2}+16x-5=0$.
$\displaystyle a=3,b=-16,c=5.$
$\displaystyle D=b^{2}-4ac.\; D=(-16)^{2}-4\cdot 3\cdot 5=196,\; D>0.$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a};\; x_{1,2}=\frac{16\pm \sqrt{196}}{2\cdot 3}=\frac{16\pm 14}{6};$
$\displaystyle x_{1}=\frac{16-14}{6}=\frac{1}{3};\; x_{2}=\frac{16+14}{6}=5.$

$\displaystyle \frac{1}{3}\leq x\leq 5$ (см. рис. 3). Наибольшее целое решение неравенства равно 5.

Ответ: 5.
Пример 4. Решите неравенство $\displaystyle x^{2}-x+5>0$.
Решение.
Решим уравнение $\displaystyle x^{2}-x+5=0$.
$\displaystyle a=1,b=-1,c=5.$
$\displaystyle D=b^{2}-4ac.\; D=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot 5=1-20=-19,\; D<0.$ Уравнение $\displaystyle x^{2}-x+5=0$ корней не имеет, значит, график функции $\displaystyle y=x^{2}-x+5$ не пересекает ось $Ox$ (см. рис. 4).

Учитывая, что $\displaystyle a=1>0$, неравенство $\displaystyle x^{2}-x+5>0$ выполняется при любом значении $x$.
Ответ: $\displaystyle (-\infty ;+\infty )$.
Заметим, что если коэффициент при $\displaystyle x^{2}$ отрицательный ($\displaystyle a<0$), то обе части неравенства можно умножить на (-1), изменив знак неравенства на противоположный, и тогда ветви параболы будут направлены вверх.
Пример 5. Решите неравенство $\displaystyle -4x^{2}+12x-9\geq 0$.
Решение.
$\displaystyle -4x^{2}+12x-9\geq 0\; |\cdot (-1)$
$\displaystyle 4x^{2}-12x+9\leq 0.$
Решим уравнение $\displaystyle 4x^{2}-12x+9=0.$
$\displaystyle a=4,b=-12,c=9.$
$\displaystyle D=b^{2}-4ac.\; D=(-12)^{2}-4\cdot 4\cdot 9=144-144=0,$
$\displaystyle x=-\frac{b}{2a},\; x=\frac{12}{2\cdot 4}=1,5.$

Учитывая, что $\displaystyle a=4>0$, неравенство $\displaystyle 4x^{2}-12x+9\leq 0$ выполняется только при $\displaystyle x=1,5$ (см. рис. 5).
Ответ: 1,5.