Решение неравенств методом интервалов. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 1. Урок 29

Покажем решение неравенств методом интервалов.
Пример 1. Решите неравенство $\displaystyle x^{2}-4x-21\geq 0$ .
Решение.
1) Разложим левую часть неравенства на множители. Для этого решим уравнение $\displaystyle x^{2}-4x-21=0$ . $\displaystyle x=7$ и $\displaystyle x=-3$ — корни уравнения. Неравенство примет вид $\displaystyle (x+3)(x-7)\geq 0$ .
2) Нанесём числа —3 и 7 на прямую. Учитывая, что неравенство нестрогое, закрасим точки (см. рис. 1).

Рис.1

3) Так как $\displaystyle a=1>0$ , то на крайнем правом промежутке поставим знак «+» (можно из любого промежутка взять число и подставить в левую часть неравенства, например, если $x=10$ , получим $100-40-21=39>0$ ) (см. рис. 2).

Рис.2

4) Так как множители $(x+3)$ и $(x-7)$ в нечётной степени (в первой), то на остальных промежутках знаки чередуем и рисуем «змейку» (см. рис. 3).

Рис.3

5) Левая часть неравенства больше или равна 0, значит, выделяем промежутки со знаком «+» (см. рис. 4).

Рис.4

6) Делаем вывод: $\displaystyle x\leq -3,\; x\geq 7$ .
Ответ: (—оо; —3] U [7; +оо).
Пример 2. Решите неравенство $\displaystyle 7x^{2}-12x+5<0$ .
Решение.
$\displaystyle 7x^{2}-12x+5=0$ , $\displaystyle x_{1}=1,\; x_{2}=\frac{5}{7}$ — корни уравнения.
$\displaystyle 7(x-1)\left ( x-\frac{5}{7} \right )<0\; |:7$ $\displaystyle (x-1)\left ( x-\frac{5}{7} \right )<0.$

Рис.5

$\displaystyle \frac{5}{7}<x<1$ (см. рис. 5).
Ответ: $\displaystyle \left ( \frac{5}{7};1 \right )$ .
Пример 3. Решите неравенство $\displaystyle -x^{2}-8x+9>0$ .
Решение.
Умножим обе части неравенства на (—1).
$\displaystyle x^{2}+8x-9<0$ , $\displaystyle x^{2}+8x-9=0$ ,

Рис.6

$\displaystyle x_{1}=1,\; x_{2}=-9$ — корни уравнения.
$\displaystyle (x+9)(x-1)<0$ . $\displaystyle -9<x<1$ (см. рис. 6).
Ответ: (—9; 1).
Пример 4. Решите неравенство $\displaystyle x^{2}-6x+9>0$ .
Решение.
Заметим, что левая часть неравенства — полный квадрат, то есть $\displaystyle x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}$ . Неравенство примет вид $\displaystyle (x-3)^{2}>0$ , отсюда решение этого неравенства — любое число, кроме $x=3$ , так как неравенство строгое.

Рис.7

$x<3$ и $x>3$ (см. рис. 7).
Ответ: $\displaystyle (-\infty ;3)\cup (3;+\infty )$ .
Пример 3. Решите неравенство $\displaystyle \frac{3x-6}{x+4}\geq 0.$
Решение.
Нули числителя: $3x-6=0, x=2$ . Нули знаменателя: $x+4=0, x=-4$ .