Пересечение графиков. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 1. Урок 42

Для того чтобы решить задания, в которых требуется найти координаты точки пересечения графиков (заданных уравнениями), удовлетворяющей определённому условию, нужно
• составить и решить систему уравнений, задающих графики, тем самым найдя все их точки пересечения;
• определить условия, отличающие искомую точку от других (например, знак абсциссы), выбрать среди всех найденных точек пересечения искомую.
Пример 1. На рисунке 1 изображены графики функций $\displaystyle y=x^{2}-3$ и $\displaystyle y=x-1$. Вычислите координаты точки $B$.

Рис.1

Решение.
Решим систему уравнений $\displaystyle \left\{\begin{matrix} y=x^{2}-3,\\ y=x-1. \end{matrix}\right.$
$\displaystyle x^{2}-3=x-1;\; x^{2}-x-2=0;\; x_{1}=2,x_{2}=-1;\; y_{1}=1,y_{2}=-2.$
Таким образом, решениями системы являются точки $(2;1)$ и $(-1;-2)$.
Точка $B$ расположена слева от оси $Oy$, точка $A$ — справа, следовательно, абсцисса точки $B$ — отрицательное число, в то время как абсцисса точки $A$ — положительное. Среди найденных точек пересечения выбираем точку с отрицательной абсциссой: $(-1;-2)$.
Ответ: $(-1;-2)$.
Пример 2. На рисунке 2 изображены графики функций $\displaystyle y=2x+5$ и $\displaystyle y=4-(x+2)^{2}$. Вычислите координаты точки $A$.

Рис.2

Решение.
а) Решим систему уравнений $\displaystyle \left\{\begin{matrix} y=2x+5,\\ y=4-(x+2)^{2}. \end{matrix}\right.$
$\displaystyle 2x+5=4-(x+2)^{2};\; 2x+1+x^{2}+4x+4=0;\; x^{2}+6x+5=0;$
$x_{1}=-5,x_{2}=-1;\; y_{1}=-5,y_{2}=3.$
Таким образом, решениями системы являются точки $(-5;-5)$ и $(-1;3)$.
б) Точка $A$ расположена ниже оси $Ox$, точка $C$ — выше, следовательно, ордината точки $A$ — отрицательное число, ордината точки $C$ — положительное.
в) Среди найденных точек пересечения выбираем точку с отрицательной ординатой: $(-5;-5)$.
Ответ: $(-5;-5)$.
Замечание. Можно было бы рассуждать иначе: точка $A$ левее точки $C$, поэтому абсцисса точки $A$ меньше абсциссы точки $C$. Из точек $(-5;-5)$ и $(-1;3)$ абсцисса точки $(-5;-5)$ меньше, поэтому точка $(-5;-5)$ является искомой.