Свойства геометрической прогрессии. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 1. Урок 35

Свойства геометрической прогрессии

• Числовая последовательность, члены которой отличны от нуля, является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого её члена, кроме первого, равен произведению предыдущего и последующего членов.
$\displaystyle b{_{n}}^{2}=b_{n-1}\cdot b_{n+1},n\geq 2$.
• Сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии $\displaystyle S_{n}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}$.
Задача 1. Задана геометрическая профессия: 2, $x$, 18,... . Найдите $x$.
Решение.
Так как последовательность 2, $x$, 18,... по условию является геометрической прогрессией, то по свойству геометрической прогрессии запишем
$\displaystyle x^{2}=2\cdot 18,$
$\displaystyle x^{2}=36,$
$\displaystyle x_{1}=6,\; x_{2}=-6.$
Ответ: 6; -6.
Задача 2. Дана геометрическая прогрессия 3, 6, 12,... . Найдите сумму первых шести её членов.
Решение.
По условию, $\displaystyle b_{1}=3,\; b_{2}=6$, знаменатель геометрической прогрессии $\displaystyle q=b_{2}:b_{1},\; q=6:3=2.$
По формуле $\displaystyle S_{6}=\frac{b_{1}(q^{6}-1)}{q-1}$ находим
$\displaystyle S_{6}=\frac{3(2^{6}-1)}{2-1}=3\cdot (64-1)=3\cdot 63=189.$
Ответ: 189.
Задача 3. Геометрическая прогрессия задана формулой $n$ - го члена: $\displaystyle b_{n}=2\cdot 3^{n-1}$. Найдите сумму первых пяти её членов.
Решение.
В этой прогрессии $\displaystyle b_{1}=2\cdot 3^{1-1}=2,\; b_{2}=2\cdot 3^{2-1}=6,\; q=b_{2}:b_{1}=6:2=3,\; n=5.$
По формуле $\displaystyle S_{5}=\frac{b_{1}(q^{5}-1)}{q-1}$ находим
$\displaystyle S_{5}=\frac{2\cdot (3^{5}-1)}{3-1}=\frac{2\cdot (243-1)}{2}=242.$
Ответ: 242.
Задача 4. В геометрической прогрессии со знаменателем $\displaystyle q=\frac{1}{2}$ сумма первых четырёх членов равна 60. Найдите первый член этой прогрессии.
Решение.
Воспользуемся формулой $\displaystyle S_{4}=\frac{b_{1}(q^{4}-1)}{q-1}$:
$\displaystyle \frac{b_{1}\left ( \left ( \frac{1}{2} \right )^{4}-1 \right )}{\frac{1}{2}-1}=60,\; \frac{b_{1}\left ( \frac{1}{16}-1 \right )}{-\frac{1}{2}}=60,\; b_{1}\cdot \frac{15}{16}\cdot \frac{2}{1}=60,\; b_{1}=\frac{60\cdot 16}{15\cdot 2}=32.$
Ответ: 32.