Координаты точек. Готовимся к ЕГЭ по математике. Геометрия. Урок 7

Рассмотрим прямоугольную систему координат $Oxy$ (см. рис. 1).
Длина отрезка $AB$, для которого известны координаты его концов $\displaystyle A(x_{A};y_{A})$ и $\displaystyle B(x_{B};y_{B})$, определяется по формуле $\displaystyle \left | AB \right |=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}.$

Координаты середины отрезка вычисляются по формулам: $\displaystyle x_{C}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\; y_{C}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}.$

Если точки $A$ и $B$ симметричны относительно оси $Ox$ (оси абсцисс), то их ординаты противоположны (см. рис. 2), а абсциссы равны: $A(x;y)$, $B(x;-y)$.
Если точки $A$ и $C$ симметричны относительно оси $Oy$, то их абсциссы противоположны, а ординаты равны: $A(x;y)$, $C(-x;y)$.
Если точки $A$ и $D$ симметричны относительно начала координат, то их координаты противоположны: $A(x;y)$, $D(-x;-y)$.
Задача 1. Найдите расстояние от точки $B$ с координатами (12;-5) до начала координат (см. рис. 3).

Решение.
Начало координат находится в точке $O(0;0)$. Расстояние от $O$ до $B$ равно $\displaystyle OB=\sqrt{(x_{B}-x_{O})^{2}+(y_{B}-y_{O})^{2}}=\sqrt{(12-0)^{2}+(-5-0)^{2}}=13.$
Ответ: 13.
Задача 2. Найдите абсциссу точки, симметричной точке $A(2;5)$ относительно оси $Oy$ (см. рис. 4).
Решение.

Точке $A$ симметрична точка $B(?2;5)$ (см. рис. 5). Абсцисса точки $B$ равна —2.

Ответ: -2.