Площадь трапеции (задачи на клетчатой бумаге). Готовимся к егэ по математике. Геометрия. Урок 5

Напомним, что трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
Площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований $(a+b)$ на высоту $(h)$ :
$\displaystyle S=\frac{(a+b)h}{2}.$
На рисунке 1 приведены чертежи некоторых трапеций, у каждой из которых показаны основания $a$ и $b$ и высота $h$ .

Рис.1

Задача 1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1см х 1см изображена трапеция (см. рис. 2). Найдите её площадь в квадратных сантиметрах.

Рис.2

Решение.
1-й способ.
Площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту. Обозначим трапецию $ABCD$ . Проведём из точки $D$ высоту $DM$ к основанию $AB$ . По рисунку 3 видно, что высота равна 2 см, основания $AB$ = 4 см, $DC$ = 2 см.

Рис.3

Площадь трапеции $\displaystyle S=\frac{(2+4)\cdot 2}{2}=6$ (см²).
Ответ: 6.
2-й способ.
Разобьём трапецию на три части — два прямоугольных треугольника и квадрат. Сторона квадрата 2, площадь квадрата $\displaystyle S_{1}=2\cdot 2=4$ , катеты каждого из прямоугольных треугольников 1 и 2, площадь каждого из прямоугольных треугольников равна половине произведения катетов, $\displaystyle S_{2}=1\cdot 2:2=1$ . Получаем, что площадь трапеции $\displaystyle S=4+1+1=6$ (см²).
Ответ: 6.
Задача 2. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображена трапеция (см. рис. 4). Найдите её площадь в квадратных сантиметрах.

Рис.4

Решение.
Обозначим трапецию $ABCD$ . Проведём высоту $DH$ . На рисунке 5 видно, что высота равна 2 см, основание $AD$ = 1 см, $BC$ = 3 см.

Рис.5

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: $\displaystyle S=\frac{(1+3)\cdot 2}{2}=4$ (см²).
Ответ: 4.
Задача 3. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1; 2), (1; 6), (6; 12), (6; 6) (см. рис. 6).

Рис.6

Решение.
1-й способ.
Площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту. Обозначим трапецию $ABCD$ (см. рис. 7). Проведём из точки $B$ перпендикуляр к $CD$ . Этим перпендикуляром будет $BD$ . Высота $BD$ = 6 — 1 = 5, основания трапеции $AB$ и $CD$ равны 4 и 6 соответственно. Найдём площадь трапеции $\displaystyle S=\frac{(6+4)\cdot 5}{2}=25.$

Рис.7

Ответ: 25.
2-й способ.
Разобьём трапецию на два прямоугольных треугольника $ABD$ и $DBC$ (см. рис. 7). Площадь прямоугольного треугольника $ABD$ с катетами $AB$ = 4 и $BD$ = 5 равна половине произведения катетов, то есть 4 · 5 : 2 = 10. Площадь прямоугольного треугольника $DBC$ с катетами $DB$ = 5 и $CD$ = 6 равна половине произведения катетов, то есть 6 · 5 : 2 = 15. Площадь трапеции равна сумме площадей треугольников $ABD$ и $DBC$ . Получим $S$ = 10 + 15 = 25.
Ответ: 25.