Площади круга и сектора (задачи на клетчатой бумаге). Готовимся к егэ по математике. Геометрия. Урок 4

Площадь круга равна произведению числа $\displaystyle \pi$ на квадрат радиуса:
$\displaystyle S=\pi R^{2}.$
Задача 1. Найдите площадь $S$ круга, считая стороны клеток равными 1 (см. рис. 1). В ответе укажите $\displaystyle \frac{S}{\pi }$.

Решение.
Площадь круга равна произведению числа $\displaystyle \pi$ на квадрат радиуса. Найдём радиус. Из центра $O$ проведём радиус $OA$. В треугольнике $OAB$ сторона $OA$ — гипотенуза, катеты равны 1 и 2 (см. рис. 2).

Найдём гипотенузу по теореме Пифагора. $\displaystyle OA=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}.$
Площадь круга $\displaystyle S=\pi (\sqrt{5})^{2}=5\pi .\; \frac{S}{\pi }=\frac{5\pi }{\pi }=5.$
Ответ: 5.
Задача 2. На клетчатой бумаге нарисовано два круга (см. рис. 3). Площадь внутреннего круга равна 3. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Решение.
Радиус $R$ внутреннего круга — 3 клетки, его площадь равна $\displaystyle \pi R^{2}=3$. Радиус внешнего круга — 6 клеток, то есть $2R$, поэтому его площадь равна $\displaystyle \pi (2R^{2})=3\cdot 4=12.$ Площадь заштрихованной фигуры равна разности 12 — 3 = 9.
Ответ: 9.
Площадь сектора с углом $\displaystyle \alpha$ градусов равна $\displaystyle \frac{\pi R^{2}\alpha }{360^{\circ}}.$
Задача 3. Найдите площадь $S$ сектора с углом 18 градусов и радиусом 4. В ответе укажите $\displaystyle \frac{S}{\pi }$.
Решение.
Посчитаем площадь сектора по формуле $\displaystyle S=\frac{\pi R^{2}\alpha }{360}=\frac{\pi \cdot 4^{2}\cdot 18}{360}=0,8\pi \cdot \frac{S}{\pi }=0,8.$
Ответ: 0,8.
Задача 4. Найдите площадь $S$ заштрихованного сектора, считая стороны клеток равными 1 (см. рис. 4). В ответе укажите $\displaystyle \frac{S}{\pi }$.

Решение.
На рисунке 4A) площадь круга с радиусом $R$ = 2 равна $\displaystyle \pi R^{2}=\pi \cdot 2^{2}=4\pi .$
На рисунке 4В) площадь сектора составляет $\displaystyle \frac{1}{4}$ от площади круга (если круг разделить на 4 равные части, то одна из них как раз и будет равна заданному сектору), то есть
$\displaystyle \frac{\pi R^{2}}{4}=\frac{\pi \cdot 2^{2}}{4}=\pi.$
Можно было решать задачу по-другому. Площадь сектора равна площади круга, делённой на 4.
$\displaystyle S:4=4\pi :4=\pi.$
Ответ: 1.
Задача 5. Найдите площадь $S$ заштрихованных секторов на рисунках C и D, считая стороны клеток равными 1 (см. рис. 5).

В ответе укажите $\displaystyle \frac{S}{\pi }$.
Решение. Посчитаем, какая часть круга закрашена. Проведя дополнительные линии (см. рис. 6), видим, что сектор на рисунке 6C) составляет - часть круга, а сектор на рисунке 6D) составляет
$\displaystyle \frac{5}{8}$ частей круга (круг разделён на 8 равных частей, и закрашено 5 таких частей).
Находим площади секторов на рисунках 6C) и 6D).

1-й способ.
Поделим площадь круга на 8, получим площадь сектора на рисунке 6C), потом умножим эту площадь на 5, получим площадь сектора на рисунке 6D).
$\displaystyle S_{C}=4\pi :8=0,5\pi ;\; \frac{S}{\pi }=0,5;\; S_{D}=4\pi :8\cdot 5=2,5\pi ;\frac{S}{\pi }=2,5.$
Ответ: 0,5 и 2,5.
2-й способ. Найдём площадь $\displaystyle \frac{1}{8}$ круга.
$\displaystyle S_{C}=\frac{1}{8}\cdot 4\pi =0,5\pi ;\; \frac{S}{\pi }=0,5;\; S_{D}=\frac{5}{8}\cdot 4\pi =2,5\pi ;\; \frac{S}{\pi }=2,5.$
Ответ: 0,5 и 2,5.