Равнобедренный треугольник. Готовимся к ЕГЭ по математике. Геометрия. Урок 22

Равнобедренным треугольником называют треугольник, у которого две равные стороны. Эти стороны называют боковыми сторонами, третью сторону называют основанием. Если в задаче дан равнобедренный треугольник, то пользуются его свойствами.
1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
2. Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника (между равными сторонами), является медианой и биссектрисой.
Посмотрим на рисунок 1. В треугольнике $ABC$ основание $AB$, боковые стороны $AC = CB$, угол $A$ равен углу $B$, высота $CH$ делит $AB$ на равные отрезки $AH = HB$ и угол $C$ на два равных угла.

Задача 1. В треугольнике $ABC$ $AC = BC$, $AB = 24$, $\displaystyle \cos A=0,6$. Найдите высоту $CH$.
Решение.
В треугольнике $ABC$ стороны $AC = BC$, значит, он равнобедренный. Высота $CH$, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, делит $AB$ пополам, поэтому $AH = HB = 24:2 = 12$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHA$ с прямым углом $H$ и катетами $AH$ и $HC$. $AH = 12$, $\displaystyle \cos A=0,6$. Найдём $AC$. Косинусом угла называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.
$\displaystyle \cos A=\frac{AH}{AC}=\frac{12}{AC}=0,6.\; AC=12:0,6=20.$
По теореме Пифагора
$\displaystyle CH=\sqrt{AC^{2}-AH^{2}}=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=16.$
Ответ: 16.
Задача 2. В треугольнике $ABC$ $AB = BC$, высота $CH$ равна 6, $\displaystyle AC=6\sqrt{5}$ (см. рис. 2). Найдите тангенс угла $ACB$.

Решение.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В данном треугольнике $BC = BA$, основание $AC$, равны углы $CAB$ и $ACB$. Следовательно, можно вместо тангенса угла $ACB$ найти тангенс угла $CAB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ с гипотенузой $\displaystyle AC=6\sqrt{5}$ и катетами $CH = 6$ и $HA$. Длину катета $HA$ можно найти по теореме Пифагора.
$\displaystyle HA=\sqrt{AC^{2}-CH^{2}}=\sqrt{(6\sqrt{5})^{2}-6^{2}}=\sqrt{180-36}=\sqrt{144}=12.$
Тангенсом угла называют отношение противолежащего катета к прилежащему. Для нашего треугольника
$\displaystyle tg CAB=\frac{HC}{HA}=\frac{6}{12}=0,5.$
Ответ: 0,5.
Задача 3. В треугольнике $ABC$ $AC = BC = 15$, $\displaystyle \sin B=\frac{\sqrt{21}}{5}$. Найдите $AB$.
Решение.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $CH$ является медианой, значит, $AH = HB$ (см. рис. 3). Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCH$ с гипотенузой $BC = 15$ и катетами $CH$ и $HB$. В данном треугольнике
$\displaystyle \sin B=\frac{\sqrt{21}}{5}=\frac{CH}{CB};\; \frac{\sqrt{21}}{5}=\frac{CH}{15}$, тогда $\displaystyle CH=\sqrt{21}\cdot 15:5=3\sqrt{21}.$
Катет $HB$) можно найти по теореме Пифагора: $\displaystyle CH=\sqrt{BC^{2}-CH^{2}}=\sqrt{225-(3\sqrt{21})^{2}}=\sqrt{225-189}=\sqrt{36}=6.$
$AB$ в два раза больше $HB$, $\displaystyle AB=6\cdot 2=12$.
Ответ: 12.
Задача 4. В треугольнике $ABC$ $AC = BC = 20$, $\displaystyle AB=6\sqrt{39}$. Найдите $\displaystyle \sin A$.
Решение.

Проведём высоту $CH$, тогда $\displaystyle AH=BH=3\sqrt{39}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ (см. рис. 4). Катет $HC$ можно найти по теореме Пифагора. $\displaystyle HC=\sqrt{AC^{2}-AH^{2}}=\sqrt{20^{2}-(3\sqrt{39})^{2}}=\sqrt{400-351}=\sqrt{49}=7,\; \sin A=\frac{CH}{CA}=\frac{7}{20}=0,35.$
Ответ: 0,35.