Графическое решение неравенств второй степени

Графическое решение неравенств второй степени
Как известно, графиком квадратичной функций $y=ax^{2}+bx+c$ является парабола с ветвями, направленными вверх, если $a>0$, и вниз, если $a<0$ (иногда говорят, что парабола направлена выпуклостью вниз, если $a>0$ и выпуклостью вверх, если $a<0$). При этом возможны три случая: парабола пересекает ось Ox (т. е. уравнение $ax^{2}+bx+c=0$ имеет два различных корня), парабола имеет вершину на оси Ox (т. е. уравнение $ax^{2}+bx+c=0$ имеет один корень, так называемый двукратный корень), парабола не пересекает ось Ox (т. е. уравнение $ax^{2}+bx+c=0$ не имеет действительных корней). Таким образом, возможны шесть положений параболы, которые представлены на рис.1—2 ($D=b^{2}-4ac$ — дискриминант квадратного трехчлена $ax^{2}+bx+c$).

Используя графические иллюстрации, можно решать квадратные неравенства. График параболы можно строить чисто схематически, не находя координаты вершин (если $D\neq 0$) и точку пересечения с осью $Oy$.
Пример 1. Решить неравенство $x^{2}>0$.

Решение. Рассмотрим функцию $y=x^{2}$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (парабола направлена выпуклостью вниз). Парабола пересекает ось $Ox$ в точке с абсциссой $x=0$, так как $x^{2}=0$ <=> $x=0$. Изобразив схематически параболу $y=x^{2}$ (рис. 3), найдем, что $y>0$ при $x\in \left(-\propto ;0 \right) \bigcup \left(0; \right)$. На чертеже искомое множество заштриховано.
Ответ: $x\in \left(-\propto ;0 \right) \bigcup \left(0; \right)$.
Пример 2. Решить неравенство $x^{2}-x-6\leq 0$.

Решение. Рассмотрим функцию $y=x^{2}-x-6$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, т. к. $a=1>0$. Решим уравнение $x^{2}-x-6=0$. Корни его $x_{1}=-2,\; x_{2}=3$. Значит данная парабола $y=x^{2}-x-6$ пересекает ось $Ox$ в точках с абсциссами $x_{1}=-2,\; x_{2}=3$. Изобразив схематически параболу $y=x^{2}-x-6$ (рис.4), находим, что $y\leq 0$, если $x\in \left[-2;3 \right]$. Искомое множество заштриховано на рис.4.
Ответ: $x\in \left[-2;3 \right]$.
Пример 3. Решить неравенство $-2x^{2}+3x+2>0$.

Решение. Рассмотрим функцию $y=-2x^{2}+3x+2$. Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (парабола направлена выпуклостью вверх), т. к. $a=-2<0$.

$$-2x^{2}+3x+2=0\Leftrightarrow x_{1}=-\frac{1}{2},\; x_{2}=2$$

. Изобразив схематически параболу $y=-2x^{2}+3x+2$, находим, что $y<0$ в каждом из бесконечных промежутков: $\left(-\propto ;-\frac{1}{2} \right),\; \left(2;+\propto \right)$. Искомое множество заштриховано на рис.5.

Ответ: $x\in \left(-\propto ;-\frac{1}{2} \right)\bigcup \left(2;+\propto \right)$.
Пример 4. Решить неравенство $x^{2}+2x+3\geq 0$.

Решение. Поскольку для квадратного трехчлена $x^{2}+2x+3$ дискриминант $D=2^{2}-4\cdot 1\cdot 3=-8<0$, то парабола $y=x^{2}+2x+3$ не пересекает ось $Ox$. Изобразив параболу $y=x^{2}+2x+3$ схематически (рис.6), находим, что $x^{2}+2x+3>0$ при любом значении $x\in R$. Искомое множество заштриховано на рис.6.
Ответ: $x\in \left( -\propto ;\propto \right)$.