Решение рациональных неравенств методом интервалов
Неравенства вида 0 \left(P_{n}(x)<0,\: P_{n}(x)\geq 0,\: P_{n}(x)\leq 0 \right)" />,
0 \left(\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}<0,\: \frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}\geq 0,\: \frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}\leq 0 \right)," /> где
— многочлены соответственно степеней n и m, т. е.
обычно решают методом интервалов (методом промежутков). Этот метод удобен, например, для решения неравенств следующего вида:
В основе метода интервалов лежит следующее свойство двучлена







Пусть требуется решить неравенство 0" />, где
— фиксированные числа, среди которых нет равных, причем такие, что
. Для решения неравенства
0" /> методом интервалов поступают следующим образом: на числовую ось наносят числа
; в промежутке справа от наибольшего из них, т. е. числа
, ставят знак «плюс», в следующем за ним справа налево интервале ставят знак «минус», затем — знак «плюс», затем знак «минус» и т. д. Тогда множество всех решений неравенства
0" /> будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «плюс», а множество решений неравенства
будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».
Замечание 1. На практике среди двучленов встречаются выражения , в этом случае справа от наибольшего числа
уже не обязательно будет знак «плюс». Поэтому неравенства, где в левой части встречаются двучлены вида
, лучше всего решать так: найти знак левой части выражения в каком-то одном из интервалов, не обязательно крайнем справа, а дальше в соседних интервалах будут противоположные знаки.
Замечание 2. Изменение знаков левой части неравенства удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой (которую называют «кривой знаков»), проведенной через отмеченные точки и лежащей выше или ниже числовой оси в соответствии со знаком неравенства в рассматриваемом промежутке.
Замечание 3. Приведенные выше рассуждения справедливы и для неравенств вида , где
имеет вид
при этом числа
попарно различны. При этом изменение знаков функции
иллюстрируется с помощью «кривой знаков».