Иррациональные неравенства

Иррациональные неравенства
При решении иррациональных неравенств используются те же приемы, что и при решении иррациональных уравнений: возведение обеих частей неравенства в одну и ту же натуральную степень, уединение радикала, введение новых переменных и т. д. При решении можно придерживаться, например, такого плана:
а) найти область определения исходного неравенства;
б) решить исходное неравенство, руководствуясь утверждениями о равносильности неравенств;
в) из полученных решений отобрать те, которые принадлежат области определения исходного неравенства. Утверждения о равносильности неравенств имеют следующий вид. Если обе части неравенства на множестве $D$ принимают только неотрицательные значения, то возведя обе части неравенства в любую четную степень и сохранив знак исходного неравенства, получим неравенство, равносильное исходному на множестве $D$. Возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечетную степень с сохранением знака неравенства всегда является равносильным (эквивалентным) преобразованием неравенства.
Пример 1. Решить неравенство $\sqrt{x}>2.$
Решение.
Область определения левой части неравенства, т. е. $D(\sqrt{x}):\; x\geq 0$. Отсюда получаем, что исходное неравенство эквивалентно следующей системе неравенств:

$$\sqrt{x}>2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0,\\ \left ( \sqrt{x} \right )^{2}>2^{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0,\\ x>4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x>4.$$

Ответ: $x\in (4;\infty ).$
Пример 2. Решить неравенство $\sqrt{2x+1}\leq 3.$
Решение.

$$\sqrt{2x+1}\leq 3\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+1\geq 0,\\ (\sqrt{2x+1})^{2}\leq 3^{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -\frac{1}{2},\\ 2x+1\leq 9 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -\frac{1}{2},\\ x\leq 4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow -\frac{1}{2}\leq x\leq 4.$$

Ответ: $x\in \left [ -\frac{1}{2};4 \right ].$
Пример 3. Решить неравенство $\sqrt{x-2}\geq -1.$
Решение.
Так как $\sqrt{x-2}\geq 0$, то исходное неравенство выполняется для всех $x$ из области определения функции $f(x)=\sqrt{x-2}.$
$D(f):\; x-2\geq 0 \Leftrightarrow x\geq 2.$
Ответ: $x\in \left [ 2;\infty \right ).$
Пример 4. Решить неравенство $\sqrt{x+6}<-2.$
Решение.
Поскольку $\sqrt{x+6}\geq 0$, то исходное неравенство не выполняется ни при каких значениях $x$.
Ответ: $x \in \oslash .$