Решение неравенств с модулем методом интервалов

Пример 7. Решить неравенство $\left | x+2 \right |+\left | x-2 \right |<6.$ Решение. При решении исходного неравенства используем метод интервалов для модулей. Отметим на числовой прямой точки, в которых выражения, находящиеся под знаками модулей, обращаются в нуль. Это точки $x=-2, x=2$. Вся числовая прямая разбивается этими точками на три интервала (три промежутка): $\left ( -\infty ;-2 \right )$ (1 интервал), $\left [ -2;2 \right ]$ (2 интервал), $\left ( 2;+\infty \right )$ (3 интервал). Приведем две формы записи решения исходного неравенства.
1 форма записи решения.
На 1 интервале $\left ( -\infty ;-2 \right )$ по определению модуля имеем

$$\left | x+2 \right |=-\left ( x+2 \right )=-x-2;\; \left | x-2 \right |=-\left ( x-2 \right )=-x+2.$$

Значит, на 1 интервале исходное неравенство равносильно такому:

$$-x-2-x+2<6\Leftrightarrow -2x<6 \Leftrightarrow x>-3.$$

Так как рассматривается интервал $\left ( -\infty ;-2 \right )$, то в множество решений входит пересечение множеств: $\left ( -\infty ;-2 \right )\bigcap \left ( -3;+\infty \right )=\left ( -3;-2 \right )$ — решение исходного неравенства на 1 интервале.
На отрезке $\left [ -2;2 \right ]$ (2 интервал)

$$\left | x+2 \right |=x+2;\; \left | x-2 \right |=-\left ( x-2 \right )=-x+2$$

и мы имеем $x+2-x+2<6 \Leftrightarrow 4<6$, т. е. верное числовое неравенство. Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решений, т. е. $x\in \left [ -2;2 \right ]$ — решение на 2 интервале. На 3 интервале $\left ( 2;+\infty \right )$ $\left | x+2 \right |=x+2;\; \left | x-2 \right |=x-2$, и мы получаем $x+2+x-2<6 \Leftrightarrow 2x<6 \Leftrightarrow x<3$. Поскольку рассматривается интервал $x\in \left ( 2;+\infty \right )$, то в множество решений входит пересечение множеств $\left ( -\infty ;3 \right )\bigcap \left ( 2;+\infty \right )=\left ( 2;3 \right )$ — решение на 3 интервале. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: исходное неравенство выполняется при

$$x\in \left ( -3;-2 \right )\bigcup \left [ -2;2 \right ]\bigcup \left ( 2;3 \right )=\left ( -3;3 \right ).$$

Таким образом, $x\in \left ( -3;3 \right )$ — решение исходного неравенства. Ответ: $x\in \left ( -3;3 \right )$.
2 форма записи решения. Рассмотрим три случая:

$$1)\: \left\{\begin{matrix} x<-2,\\ -(x+2)-(x-2)<6 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x<-2,\\ x>-3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in (-3;-2);$$

$$2)\: \left\{\begin{matrix} -2\leq x\leq 2,\\ x+2-(x-2)<6 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -2\leq x\leq 2,\\ 4<6 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in \left [ -2;2 \right ];$$

$$3)\: \left\{\begin{matrix} x>2,\\ x+2+x-2<6 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>2,\\ x<3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in (2;3).$$

Объединяя найденные множества значений $x$, получаем

$$x\in (-3;-2)\bigcup \left [ -2;2 \right ]\bigcup (2;3)=(-3;3).$$

Ответ: $x\in (-3;3).$
Пример 8. Решить неравенство $\left | x-2 \right |^{3}+\left | x-2 \right |>2$.
Решение.
Сделав замену переменной $\left | x-2 \right |=t,\; t\geq 0,$ получаем

$$\left\{\begin{matrix} t^{3}+t>2,\\ t\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t^{3}+t-2>0\\ t\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (t-1)(t^{2}+t+2)>0,\\ t\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t-1>0,\\ t\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t>1,\\ t\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow t>1.$$

Возвращаясь к старой переменной, получаем, что исходное неравенство эквивалентно следующему:

$$\left | x-2 \right |>1\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} x-2>1,\\ x-2<-1 \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} x>3,\\ x<1 \end{matrix} \right.\Leftrightarrow x\in (-\infty ;1)\bigcup (3;\infty ).$$

Ответ: $x\in (-\infty ;1)\bigcup (3;\infty ).$