Линейные неравенства и неравенства, приводимые к линейным

Линейные неравенства и неравенства, приводимые к линейным
Линейным неравенством с одной переменной называется неравенство вида $ax>b$ (или $ax<b$, $ax \leq b$, $ax \geq b$). Если $a > 0$, то неравенство $ax > b \Leftrightarrow x>\frac{b}{a} \Leftrightarrow x \in \left(\frac{b}{a}; \propto \right)$.
Если $a < 0$, то неравенство $ax > b \Leftrightarrow x<\frac{b}{a} \Leftrightarrow x \in \left( - \propto; \frac{b}{a} \right)$. Если $a = 0$, то неравенство принимает вид $0\cdot x>b$ и оно верно для любого $x\in \left(-\propto ; +\propto \right)$, если $b<0$, и не имеет решений, если $b>0$.
Пример 1. Решить неравенство $2x>8$.
Решение.

$$2x>8 \Leftrightarrow x>\frac{8}{2} \Leftrightarrow x>4 \Leftrightarrow x\in (4; +\propto ).$$

Ответ: $x\in (4; +\propto ).$
Пример 2. Решить неравенство $-3x\leq 15$.
Решение.

$$-3x \leq 15\Leftrightarrow x\geq \frac{15}{-3} \Leftrightarrow x \geq -5 \Leftrightarrow x\in [-5; +\propto ).$$

Ответ: $x\in [-5; +\propto ).$
Неравенствами, приводимыми к линейным, назовем следующие неравенства: $ax+b>0$ (или $ax+b \geq 0$, $ax+b<0$, $ax+b \leq 0$), $ax+b>cx+d$ (или $ax+b \geq cx+d$, $ax+b<cx+d$, $ax+b \leq cx+d$).
У этих неравенств левая и правая части представляют собой линейные функции относительно х. Такие неравенства в процессе преобразований сводятся к линейным.
Пример 3. Решить неравенство $2x+3 \leq x-8$.
Решение.

$$2x+3\leq x-8\Leftrightarrow 2x-x\leq -3-8\Leftrightarrow x\leq -11\Leftrightarrow x\in (-\propto ;-11].$$

Ответ: $x\in (-\propto ;-11].$
Пример 4. Решить неравенство $3(x+2)-4(x-6)>2(x-5).$
Решение.

$$3(x+2)-4(x-6)>2(x-5)\Leftrightarrow 3x+6-4x+24>2x-10\Leftrightarrow -x+30>2x-10\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow -x-2x>-10-30\Leftrightarrow -3x>-40\Leftrightarrow x<\frac{-40}{-3}\Leftrightarrow x<\frac{40}{3}\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow x\in (-\propto ; \frac{40}{3}).$$

В процессе решения неравенства мы раскрыли скобки, а дальше использовали теоремы о равносильности неравенств. Особо следует обратить внимание на то, что неравенство $-3x>-40$ равносильно неравенству$x<\frac{-40}{-3}$, так как при делении на отрицательное число нужно изменить знак на противоположный.
Ответ: $x\in (-\propto ; \frac{40}{3}).$
Пример 5. Решить неравенство $\frac{x}{2}-\frac{x}{3}<2x+1.$
Решение. Рассмотрим несколько форм записи решения исходного неравенства.
1-я форма записи.

$$\frac{x}{2}-\frac{x}{3}<2x+1\Leftrightarrow \frac{3x-2x}{6}<\frac{6(2x+1)}{6} \Leftrightarrow 3x-2x<12x+6 \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow x-12x-\frac{6}{11} \Leftrightarrow x\in \left(-\frac{6}{11}; +\propto \right).$$

В процессе решения неравенства мы привели левую и правую части исходного неравенства к общему знаменателю, то есть к числу 6, а затем применили теоремы о равносильных неравенствах.
2-я форма записи.

$$\frac{x}{2}-\frac{x}{3}<2x+1\Leftrightarrow 6 \left( \frac{x}{2}-\frac{x}{3}\right)<6(2x+1) \Leftrightarrow 3x-2x<12x+6 \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow x-12x-\frac{6}{11} \Leftrightarrow x\in \left(-\frac{6}{11}; +\propto \right).$$

В процессе решения мы вначале умножили обе части исходного неравенства на 6, а затем применили свойства неравенств (теоремы о равносильных неравенствах).
3-я форма записи.

$$\frac{x}{2}-\frac{x}{3}<2x+1\Leftrightarrow \frac{x}{2}-\frac{x}{3}-2x$$

$$\frac{-11x}{6}-\frac{6}{11} \Leftrightarrow x\in \left(-\frac{6}{11}; +\propto \right).$$

В процессе решения исходного неравенства с самого начала все неизвестные были перенесены в левую часть неравенства, а в правой части остались только постоянные. Далее выражение слева было приведено к общему знаменателю, а затем использованы теоремы о равносильных неравенствах.

Ответ: $x\in \left(-\frac{6}{11}; +\propto \right).$
Замечание. Ответы к неравенствам не обязательно давать с применением теории множеств. Так, вполне допустимо дать ответ в виде $x>-\frac{6}{11}$.