Система и совокупность неравенств с одной переменной

Несколько неравенств с одной переменной образуют систему неравенств, если ставится задача об отыскании всех тех значений переменной, которые удовлетворяют одновременно каждому из этих неравенств (т. е. если отыскиваются все общие решения исходных неравенств).
Несколько неравенств с одной переменной образуют совокупностъ неравенств, если ставится задача об отыскании всех тех значений переменной, каждое из которых удовлетворяет по крайней мере одному из этих неравенств.
Значение переменной, при котором каждое неравенство системы обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы неравенств.
Две системы неравенств называются равносильными, если они имеют общее множество решений, удовлетворяющих этим неравенствам. Равносильность систем неравенств обозначается так же, как и равносильность систем уравнений, т. е. с помощью знака <=>.
Очевидно, что решением системы неравенств является пересечение решений неравенств, образующих систему, а решением совокупности неравенств является объединение решений неравенств, образующих совокупность.
Если неравенства $f_{1}(x)>g_{1}(x)$ и $f_{2}(x)>g_{2}(x)$ образуют систему неравенств, то их записывают в столбик с помощью фигурной скобки:

$$\left\{\begin{matrix} f_{1}(x)>g_{1}(x),\\ f_{2}(x)>g_{2}(x). \end{matrix}\right.$$

Так, например, запись

$$\left\{\begin{matrix} 3x+5>2,\\ 4x-5\leq 15. \end{matrix} \right.$$

означает, что неравенства $3x+5>2$ и $4x-5\leq 15$ образуют систему неравенств.
Двойное неравенство $g(x)<f(x)<\varphi (x)$ эквивалентно (равносильно) системе неравенств, т. е.

$$g(x)<f(x)< \varphi (x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} f(x)>g(x),\\ f(x)< \varphi (x). \end{matrix}\right.$$

Например,

$$\left\{ \begin{matrix} x+1 \leq -5,\\ x+1 \geq -7, \end{matrix}\right. \Leftrightarrow -7 \leq x+1 \leq -5.$$

Если неравенства $f_{1}(x)>g_{1}(x)$ и $f_{2}(x)>g_{2}(x)$ образуют совокупность неравенств, то их записывают либо в столбик с помощью квадратной скобки, либо в строку с помощью знака ";", например,

$$\left [ \begin{matrix} f_{1}(x)>g_{1}(x),\\ f_{2}(x)>g_{2}(x) \end{matrix} \right. \Leftrightarrow f_{1}(x)>g_{1}(x); f_{2}(x)>g_{2}(x).$$

Несколько систем неравенств с одной переменной образуют совокупность систем неравенств, если ставится задача об отыскании всех тех значений переменной, каждое из которых удовлетворяет по крайней мере одной из этих систем.