Метод замены переменной при решении рациональных неравенств

Метод замены переменной при решении рациональных неравенств
Многие неравенства удобно решать, применяя метод замены переменной (метод подстановки).
Пример 1. Решить неравенство $(x^{2}-x)^{2}-8(x^{2}-x)+12<0$ . Решение. Сделав замену переменной $t=x^{2}-x$ , получаем $t^{2}-8t+12<0$ . Корни уравнения $t^{2}-8t+12=0$ есть $t_{1}=2,\; t_{2}=6$ . Отсюда $t^{2}-8t+12=(t-2)(t-6)<0 \Leftrightarrow 2<t<6.$ Поскольку $t=x^{2}-x$ , то получаем

$2<x^{2}-x<6 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}-x>2,\; (a)\\ x^{2}-x<6 \; (b) \end{matrix}\right.$

Решаем неравенство (a):

$x^{2}-x>2 \Leftrightarrow x^{2}-x-2>0 \Leftrightarrow (x+1)(x-2)>0 \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x<-1,\\ x>2. \end{matrix} \right.$
Решаем неравенство (b):

$x^{2}-x<6 \Leftrightarrow x^{2}-x-6<0 \Leftrightarrow (x+2)(x-3)<0 \Leftrightarrow -2<x<3.$

Отсюда

$(x^{2}-x)^{2}-8(x^{2}-x)+12<0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}-x>2,\\ x^{2}-x<6 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left[ \begin{matrix} x<-1,\\ x>2, \end{matrix} \right.\\ -2<x<3. \end{matrix} \right.$

Изобразим полученные множества с помощью двух координатных прямых (рис.1). Из рис.1 видим, что решением исходного неравенства является объединение множеств (-2;-1),(2;3).

Рис.1

Ответ: $x\in (-2;-1)\bigcup (2;3).$
Пример 2. Решить неравенство $(x^{2}+6x+14)^{2}-9(x^{2}+6x+15)+9<0.$ Решение.
Обозначив $t=x^{2}+6x+14$ , получаем из исходного неравенства $t^{2}-9(t+1)+9<0\Leftrightarrow t^{2}-9t<0\Leftrightarrow 0<t<9.$ Отсюда исходное неравенство равносильно следующему неравенству:

$0<x^{2}+6x+14<9 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+6x+14>0,\\ x^{2}+6x+14<9 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\in R,\\ x^{2}+6x+5<0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\in R,\\ -5<x<-1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow -5<x<-1.$