Обобщенный метод интервалов

Обобщенный метод интервалов
Пусть требуется решить неравенство

$$(x-\alpha _{1})^{k_{1}}(x-\alpha _{2})^{k_{2}}...(x-\alpha _{n-1})^{k_{n-1}}(x-\alpha _{n})^{k_{n}}>0,$$

где $k_{1},k_{2},...,k_{n-1},k_{n}$ - целые положительные числа;
$\alpha _{1},\alpha _{2},..., \alpha _{n-1},\alpha _{n}$ — действительные числа, среди которых
нет равных и такие, что $\alpha _{1}<\alpha _{2}<...<\alpha _{n-1}<\alpha _{n}$. Неравенства подобного типа решают с применением обобщенного метода интервалов. В основе этого метода лежит следующее свойство двучлена $(x-\alpha )^{n}$: точка $x=\alpha$ делит числовую ось на две части причем если $n=2k$ (n — четное), то выражение $(x-\alpha )^{n}$ справа и слева от точки $x=\alpha$ сохраняет положительный знак; если $n=2k+1$ (n — нечетное число), то выражение $(x-\alpha )^{n}$ справа от точки $x=\alpha$ положительно, а слева от точки $x=\alpha$ отрицательно.
Для решения неравенства

$$(x-\alpha _{1})^{k_{1}}(x-\alpha _{2})^{k_{2}}...(x-\alpha _{n-1})^{k_{n-1}}(x-\alpha _{n})^{k_{n}}>0,$$

обобщенным методом интервалов на числовую ось наносим числа $\alpha _{1},\alpha _{2},..., \alpha _{n-1},\alpha _{n}$; в промежутке справа от наибольшего из них ставим знак «плюс», а затем, двигаясь справа налево, при переходе через очередное число $\alpha _{i}$ меняем знак, если $k_{i}$ — нечетное число, и сохраняем знак, если $k_{i}$ — четное число.
Замечание 1. Если встречаются выражения $(\alpha _{i}-x)^{n}$, то справа от наибольшего из $\alpha _{i}$ не обязательно будет знак «+». В этом случае лучше всего определить знак левой части неравенства в каком-либо из интервалов, а затем поставить знаки в каждом из интервалов с учетом изложенных выше соображений.
Замечание 2. Приведенные выше рассуждения справедливы и для неравенств вида $\varphi (x)<0,\varphi (x)\geq 0,\varphi (x)\leq 0$, где

$$\varphi (x)=\frac{(x-\alpha _{1})^{n_{1}}(x-\alpha _{2})^{n_{2}}...(x-\alpha _{k})^{n_{k}}}{(x-\beta _{1})^{m_{1}}(x-\beta _{2})^{m_{2}}...(x-\beta _{p})^{m_{p}}}.$$

Пример 1. Решить неравенство $x^{2}(x-1)^{3}(x-2)^{5}<0.$ Решение. Отмечаем на числовой прямой точки $x=0,x=1,x=2$ (рис.1). Проводим через эти точки «кривую знаков» с учетом того, что слева и справа от точки $x=0$ будет один и тот же знак « + », так
как в выражении $x^{2}$ показатель степени (число 2) есть число четное. В окрестности точек $x=1$ и $x=2$ знаки в соседних промежутках чередуются, так как в выражениях $(x-1)^{3}$ и $(x-2)^{5}$ показатели степеней (числа 3 и 5) нечетные.

Множество, дающее решение исходного неравенства, заштриховано на рис.1. Это интервал (1;2).
Ответ: $x\in (1;2)$.
Пример 2. Решить неравенство $\frac{(x-6)^{2}(x-2)x}{(x+1)^{4}(x+5)}\geq 0.$
Решение. Наносим на числовую прямую точки $x=6, x=2, x=0, x=-1, x=-5$. Точки $x=6, x=2, x=0$ отмечаем темными кружками, а точки $x=-1, x=-5$ светлыми (рис.2). Проведя «кривую знаков» с учетом того, что в окрестности точек $x=-1$ и $x=6$ левая часть неравенства сохраняет знак (т. к. в выражениях $(x-6)^{2},(x+1)^{4}$ показатели степеней есть четные числа), получаем решение $x\in (-5;-1)\bigcup (-1;0]\bigcup [2;6]\bigcup [6;+\propto)=(-5;-1)\bigcup (-1;0]\bigcup [2;+\propto).$

Это множество на рис.2 заштриховано.
Ответ: $x\in (-5;-1)\bigcup (-1;0]\bigcup [2;+\propto).$
Пример 3. Решить неравенство $\frac{x^{6}(2x-11)(x-1)}{(x+4)^{7}(3x-9)^{8}}\leq 0.$
Решение.
Наносим точки $x=-4;0;1;3;\frac{11}{2}$ на числовую ось. С помощью «кривой знаков» получаем решение, заштрихованное на рис.3. Заметим, что точка $x=0$ входит в множество решений, т. к. при $x=0$ получаем $0\leq 0$.

Ответ: $x\in (-\propto ;-4)\bigcup\left\{0 \right\}{0} \bigcup [1;3)\bigcup \left(3;\frac{11}{2} \right].$
Пример 4. Решить неравенство $(2-x)^{5}(x+1)^{3}(x-1)^{2}(x^{2}+2x+7)<0.$ Решение. Наносим точки $x=2;-1;1$ на числовую ось (поскольку дискриминант квадратного трехчлена $x^{2}+2x+7$: $D=2^{2}-4\cdot 1\cdot 7=-24<0,$ то $x^{2}+2x+7>0$ для всех $x$ и, значит, парабола $y=x^{2}+2x+7$не пересекает ось Ох). С помощью «кривой знаков» получаем решение, заштрихованное на рис.4.

Ответ: $x\in (-\propto ;-1)\bigcup (2;+\propto).$