Решение типовых задач на арифметическую прогрессию. Часть 1

Пример 1. Выписать первые пять членов арифметической прогрессии $(a_{n})$ , если: $a_{1}=12,\; d=3.$
Решение.
$a_{2}=a_{1}+d=12+3=15;\; a_{3}=a_{2}+d=15+3=18;$
$a_{4}=a_{3}+d=18+3=21;\; a_{5}=a_{4}+d=21+3=24.$
Ответ: 12; 15; 18; 21; 24.
Пример 2. Найти одиннадцатый член арифметической прогрессии $(a_{n})$ , если $a_{1}=-3,\; d=0,7.$
Решение.
$a_{11}=a_{1}+10d=-3+10\cdot 0,7=-3+7=4.$
Ответ: {4}.
Пример 3. Найти семнадцатый член арифметической прогрессии $(a_{n})$ , если арифметическая прогрессия имеет вид 3; 7; 11; 15.
Решение.
Находим разность прогрессии:
$d=7-3=4;\; a_{17}=a_{1}+16d=3+16\cdot 4=3+64=67.$
Ответ: {67}
Пример 4. Последовательность $(a_{n})$ — арифметическая прогрессия.
Найти:
a) $a_{1}$ , если $a_{36}=26,\; d=0,7;$
б) $d$ , если $a_{1}=-10,\; a_{15}=1,2$
Решение.
а) $a_{36}=a_{1}+35d\Leftrightarrow a_{1}=a_{36}-35d=26-35\cdot 0,7=26-24,5=1,5;$
б) $a_{15}=a_{1}+14d\Leftrightarrow d=\frac{a_{15}-a_{1}}{14}=\frac{1,2-(-10)}{14}=\frac{11,2}{14}=0,8.$
Ответ: a) {1,5}; 6) {0,8}.
Пример 5. Разность арифметической прогрессии равна 3, а сумма первых ее шести членов равна 57. Найти $a_{1}$ , $a_{6}$ .
Решение.
$d=3;\; S_{6}=57.$ Имеем
$S_{6}=\frac{2a_{1}+(6-1)d}{2}\cdot 6=(2a_{1}+5d)\cdot 3\Leftrightarrow 57=(2a_{1}+5d)\cdot 3\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow 2a_{1}+5d=\frac{57}{3} \Leftrightarrow 2a_{1}+5d=19 \Leftrightarrow a_{1}=\frac{19-5d}{2}=\frac{19-5\cdot 3}{2}=\frac{19-15}{2}=2;$
$a_{6}=a_{1}+5d=2+5\cdot 3=17.$
Ответ: $a_{1}=2;\; a_{6}=17.$
Пример 6. Найти первый член арифметической прогрессий и количество членов $n$ , если $d=-2,\; a_{n}=17,\; S_{n}=161.$
Решение.
Подставив данные значения из условия примера в формулы

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d,\; S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$

получаем систему уравнении

$\left\{\begin{matrix} 17=a_{1}+(n-1)(-2)\\ 161=\frac{a_{1}+17}{2}\cdot n \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a_{1}=15+2n,\\ 161=\frac{15+2n+17}{2}\cdot n. \end{matrix}\right.$

Решая второе уравнение системы, получаем

$161=(16+n)n\Leftrightarrow n^{2}+16n-161=0\Leftrightarrow n_{1}=7,\: n_{2}=-23$ (это значение

$n$ не подходит, т. к.

$n\in N$ ).
Итак,

$n=7,\; a_{1}=15+2\cdot 7=29.$
Ответ:

$a_{1}=29;\; n=7.$
Пример 7. Найти арифметическую прогрессию

$(a_{n})$ , если

$\left\{\begin{matrix} 2a_{1}+a_{7}=36,\\ a_{2}\cdot a_{3}=60. \end{matrix}\right.$

Решение.

$a_{7}=a_{1}+6d,\; a_{2}=a_{1}+d,\; a_{3}=a_{1}+2d.$
Подставив в исходную систему, получаем:

$\left\{\begin{matrix} 2a_{1}+a_{1}+6d=36,\\ (a_{1}+d)(a_{1}+2d)=60 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3a_{1}+6d=36,\\ (a_{1}+d)(a_{1}+2d)=60. \end{matrix}\right.$