Уравнения с одной переменной (общие понятия)

Уравнением с одной переменной называется равенство вида f(х) = φ(х) , где f(x) и φ(х) — некоторые заданные функции. Величина х называется неизвестной.
Всякое значение переменной х, при котором уравнение f(x) = φ(x) обращается в верное числовое равенство, называется корнем или решением уравнения. Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Пример 1. Уравнение х+2=5 имеет единственный корень х=3, т. к. при этом и только при этом значении переменной уравнение х+2=5 обращается в верное числовое равенство 3+2=5. Если обозначить S — множество корней уравнения х+2=5, то S={3}.
Ответ: {3}.
Пример 2. Уравнение (х+1)(х—З)(х—6)=0 имеет три корня: x1 = -1, х2 = 3, х3 = 6. S={—1; 3; 6} — множество корней уравнения.
Ответ: {-1; 3; 6}.
Пример 3. Уравнение 2х+5=2х—7 не имеет корней, S=∅.
Ответ: ∅.
Пример 4. Уравнение |х| = х имеет бесчисленное множество корней (решений), т.к. любое неотрицательное число х≥0 есть решение этого уравнения. Отсюда S = {х|х≥0}.
Ответ: {х|х≥0} .
Пример 5. Уравнение с двумя переменными 2(х—у)=2х—2у имеет бесчисленное множество решений. Это уравнение является тождеством и любые действительные значения x и у являются его решением, S={(x;y) |хє R, у є R}.
Ответ: {(x;y) |хє R, yє R}.
Пример 6. Уравнение x²=-16 не имеет действительных корней.
Ответ: ∅.
Множество всех значений переменной х, при которых имеют смысл (определены) левая и правая части уравнения, называется областью определения уравнения (или областью допустимых значений уравнения) и обозначается через D (или через ОДЗ). Для того чтобы найти область определения уравнения f(x) = φ(х), необходимо найти пересечение множеств, на которых определены заданные функции f(x) и φ(х).
Пример 7. Найти область определения уравнения

Решение.
Имеем

D1=D(f) = R\{2} =(-∞;2)∪(2;+∞), D2 =D(φ) = [0;+∞).
Отсюда D = D1 ∩ D2 = [0;2) U(2;+∞) .
Ответ: x є [0;2)U(2;+∞) .