Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение. Видеоурок №27

Формулы выражения тангенса и котангенса половинного аргумента через синус и косинус целого аргумента

$\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2};$
$\displaystyle \sin \alpha -\sin \beta =2\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\cos \frac{\alpha +\beta }{2};$
$\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\cos \frac{\alpha +\beta }{2};$
$\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}=2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\beta -\alpha }{2};$
$\displaystyle \textrm{tg}\alpha +\textrm{tg}\beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cos \beta };$
$\displaystyle \textrm{tg}\alpha -\textrm{tg}\beta =\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\cos \alpha \cos \beta };$
$\displaystyle \textrm{ctg}\alpha +\textrm{ctg}\beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\sin \alpha \sin \beta };$
$\displaystyle \textrm{ctg}\alpha -\textrm{ctg}\beta =\frac{\sin (\beta-\alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }.$

Полный урок смотрите в следующем видео:

Домашнее задание:
1. Доказать тождество:
1) $\sin \alpha +\sin 3\alpha +\sin 5\alpha +\sin 7\alpha =4\cos \alpha \cos 2\alpha \sin 4\alpha ;$
2) $\displaystyle \sin 5\alpha +\sin 6\alpha +\sin 7\alpha +\sin 8\alpha =4\cos \frac{\alpha }{2}\cos \alpha \sin \frac{13\alpha }{2};$
3) $\displaystyle \cos 5\alpha +\cos 8\alpha +\cos 9\alpha +\cos 12\alpha =4\cos \frac{3\alpha }{2}\cos 2\alpha \cos \frac{17\alpha }{2};$
4) $\displaystyle \sin 5\alpha -\sin 6\alpha -\sin 7\alpha +\sin 8\alpha =-4\sin \frac{\alpha }{2}\sin \alpha \sin \frac{13\alpha }{2}.$
2. Доказать тождество:
1) $\displaystyle 1-\sin \alpha -\cos \alpha =2\sqrt{2}\sin \frac{\alpha }{2}\sin \left ( \frac{\alpha }{2}-45^{\circ} \right );$
2) $\displaystyle 1+\sin \alpha -\cos \alpha =2\sqrt{2}\sin \frac{\alpha }{2}\sin \left ( \frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{4} \right );$
3) $\displaystyle 1-2\cos \alpha +\cos 2\alpha =-4\cos \alpha \sin ^{2}\frac{\alpha }{2};$
4) $\displaystyle 1-2\sin \alpha -\cos 2\alpha =-4\sin \alpha \sin ^{2}\left ( 45^{\circ}- \frac{\alpha }{2}\right );$
5) $\displaystyle \sin 16^{\circ}+\sin 24^{\circ}+\sin 40^{\circ}=4\sin 20^{\circ}\cos 12^{\circ}\cos 8^{\circ};$
6) $\displaystyle \sin \alpha +\cos 2\alpha +\sin 3\alpha +\cos 4\alpha =4\cos \alpha \sin \left ( 45^{\circ}-\frac{\alpha }{2} \right )\cos \left ( 45^{\circ}-\frac{5\alpha }{2} \right );$
7) $\displaystyle 1+\cos \alpha +\cos \beta +\cos (\alpha -\beta )=4\cos \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2};$
8) $\displaystyle 1+\cos \alpha +\cos 2\alpha =4\cos \alpha \cos \left ( 30^{\circ}+\frac{\alpha }{2} \right )\cos \left ( 30^{\circ}-\frac{\alpha }{2} \right );$
9) $\displaystyle \sin \alpha +\sin 3\alpha -\sin 2\alpha =4\sin \frac{\alpha }{2}\cos \alpha \cos \frac{3\alpha }{2};$
10) $\displaystyle \sin \alpha +\sin (\alpha +\beta )+\sin \beta =4\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2};$
11) $\displaystyle \sin 10^{\circ}+\sin 50^{\circ}-\cos 20^{\circ}=0;$
12) $\displaystyle \cos 85^{\circ}+\cos 35^{\circ}-\cos 25^{\circ}=0.$