Решение тригонометрических неравенств методом замены переменной и методом интервалов. Видеоурок №57

Тригонометрические неравенства. Решение тригонометрических неравенств заменой переменной. Решение тригонометрических неравенств методом интервалов. Учимся решать задачи по тригонометрии. Видеоурок №57
Пример. Решить неравенство: $\displaystyle \sin 2x+\sin x>0$.
Решение. Рассмотрим функцию $\displaystyle f(x)=\sin 2x+\sin x$. Она определена и непрерывна на множестве всех действительных чисел. Функции $\sin 2x$ и $\sin x$ имеют периоды $\pi$ и $2\pi$ соответственно. Следовательно, период $f(x)$ равен $2\pi$. Найдем нули функции: $\displaystyle \sin 2x+\sin x=0$;
$\displaystyle 2\sin x\left ( \cos x+\frac{1}{2} \right )=0$, откуда $\displaystyle \left[\begin{matrix} \sin x=0,\\ \cos x=-\frac{1}{2};\\ \end{matrix}\right.$
$\displaystyle \left[\begin{matrix} x=\pi m,\: m\in \mathbb{Z},\\ x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n,\: n\in \mathbb{Z}.\\ \end{matrix}\right.$

Выберем промежуток $[-\pi ;\pi ]$, длина которого равна периоду $2\pi$. Нетрудно заметить, что его концы являются нулями функции (вообще говоря, мы могли выбрать любой промежуток длины $2\pi$, но такой выбор позволит записать ответ в более компактном виде).

Найдем решения исходного неравенства на выбранном интервале. Для этого отметим на промежутке $[-\pi ;\pi ]$ нули функции и определим знак $f(x)$ на каждом из получившихся интервалов. $f(x)$ принимает положительные значения на интервалах $\displaystyle \left ( -\pi ;-\frac{2\pi }{3} \right )$ и $\displaystyle \left ( 0 ; \frac{2\pi }{3} \right )$.

Полный урок смотрите в следующем видео:

Домашнее задание:

1. Решить неравенство:
1) $\displaystyle 2\cos ^{2}x+3\cos x-2<0;$
2) $\displaystyle 2\sin ^{2}x+\sqrt{3}\sin x-3\geq 0;$

3) $\displaystyle \textrm{tg}^{2}x+(2-\sqrt{3})\textrm{tg}x-2\sqrt{3}<0;$

4) $\displaystyle \textrm{ctg}^{2}x+\textrm{ctg}x\geq 0;$

5) $\displaystyle 3\sin ^{2}2x+7\cos 2x-3\geq 0;$

6) $\displaystyle 2\cos ^{2}x-\sin x>1;$

7) $\displaystyle 3\cos 2x+2\cos x\geq 5;$

8) $\displaystyle \cos 2x+4\sqrt{2}\sin x\leq 2;$

9) $\displaystyle \cos 2x+3\sin x \geq -1.$

2. Решить неравенство:
1) $\displaystyle \textrm{tg}\, x\geq 2\textrm{ctg}\, x;$

2) $\displaystyle \frac{2}{\textrm{tg}\, x+1}<2-\textrm{tg}\, x;$

3) $\displaystyle \textrm{tg}\,\frac{x}{2}>\frac{\textrm{tg}\,x-2}{\textrm{tg}\,x+2};$

4) $\displaystyle 8\sin ^{4}x-8\sin ^{2}x+\sin x-1<0.$

3. Решить неравенство:
1) $\displaystyle \sin 2x+2\sin x>0;$

2) $\displaystyle \sin 2x-\sin 3x>0;$

3) $\displaystyle \cos 2x \, \textrm{tg}\, x>0;$

4) $\displaystyle 1-\sin 3x\leq \left ( \sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2} \right )^{2};$

5) $\displaystyle 1-\sin 2x\geq \cos x-\sin x;$

6) $\displaystyle \sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x<0;$

7) $\displaystyle \sin x+\sin 2x+\sin 3x>0.$