Формулы сложения. Решения упражнений. Видеоурок №17

Формулы сложения. Решения упражнений. Учимся решать задачи по тригонометрии. Видеоурок №17

Формулы сложения

$$\displaystyle \begin{matrix} \sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta ;\\ \sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta ;\\ \cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta ;\\ \cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta ;\\ \textrm{tg}(\alpha +\beta )=\frac{\textrm{tg}\alpha +\textrm{tg}\beta }{1-\textrm{tg}\alpha\textrm{tg}\beta};\\ \textrm{tg}(\alpha -\beta )=\frac{\textrm{tg}\alpha -\textrm{tg}\beta }{1+\textrm{tg}\alpha\textrm{tg}\beta};\\ \textrm{ctg}(\alpha +\beta )=\frac{\textrm{ctg}\alpha \textrm{ctg}\beta-1 }{\textrm{ctg}\alpha+\textrm{ctg}\beta};\\ \textrm{ctg}(\alpha -\beta )=\frac{\textrm{ctg}\alpha \textrm{ctg}\beta+1 }{\textrm{ctg}\beta-\textrm{ctg}\alpha};\\ \end{matrix}$$

Полный урок смотрите в следующем видео:

Домашнее задание:
1. Упростить выражение $\displaystyle \cos 10^{\circ}-2\cos 50^{\circ}-\cos 70^{\circ}.$

2.Дано: $\textrm{tg}(\alpha -45^{\circ})=3$. Найти $\textrm{tg}\alpha$.

3.Дано: $\displaystyle \sin \left ( \frac{\pi }{4}-\alpha \right )=-\frac{\sqrt{2}}{10},\: \pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$. Найти $\sin \alpha$.

4.Дано: $\displaystyle \sin \left ( \alpha - \frac{\pi }{3} \right )=\frac{2}{5},\: \frac{5\pi }{6} <\alpha <\frac{11\pi }{6}$. Найти $\cos \alpha$.

5.Дано: $\textrm{tg}\beta =3,\: \textrm{tg}(\alpha -\beta )=1$. Найти $\textrm{tg}\alpha$.

6.Дано: $\displaystyle \cos (25^{\circ}-\alpha )=-\frac{7}{25},\: -125^{\circ}<\alpha <-100^{\circ}$. Найти $\displaystyle \sin (55^{\circ}-\alpha )$.

7.Дано: $\displaystyle \cos (5^{\circ}+\alpha )=0,6,\: 0^{\circ}<\alpha <55^{\circ}$. Найти $\displaystyle \textrm{tg}(35^{\circ}+\alpha )$.

8.Дано: $\displaystyle 0<\alpha <\frac{\pi }{2},\: 0<\beta <\frac{\pi }{2},\: \cos \alpha =\frac{7}{\sqrt{50}},\: \textrm{tg}\beta =\frac{1}{3}$. Доказать, что $\displaystyle \alpha +2\beta =\frac{\pi }{4}$.

9.Дано: $\displaystyle \textrm{tg}\alpha =5,\: \textrm{ctg}\beta =\frac{2}{3},\: 0\leq \alpha \leq \frac{\pi }{2},\: 0\leq \beta \leq \frac{\pi }{2}$. Доказать, что $\displaystyle \alpha +\beta =\frac{3\pi }{4}$.

10. Дано: $\displaystyle \sin \alpha =\frac{\sqrt{21}}{7},\: \sin \beta =\frac{\sqrt{21}}{14},\: 0^{\circ}<\alpha <90^{\circ},\: 0^{\circ}<\beta <90^{\circ}$. Найти $\alpha +\beta$.

11. Дано: $\displaystyle \textrm{tg} \alpha =\frac{1}{2},\: \textrm{tg} \beta =\frac{1}{3},\: 0^{\circ}<\alpha <90^{\circ},\: 0^{\circ}<\beta <90^{\circ}$. Найти $\alpha +\beta$.

12. Найти наибольшее значение выражения:
1) $\displaystyle \sqrt{3}\cos \alpha -\sin \alpha$;

2) $\displaystyle \sin \alpha - \sqrt{3}\cos \alpha$;

3) $\displaystyle \sin \alpha + \cos \alpha$;

4) $\displaystyle \sqrt{2}\sin \alpha +\sqrt{6} \cos \alpha$;

5) $\displaystyle \sqrt{5} \cos \alpha -2\sqrt{5}\sin \alpha$.