Понятие числовой последовательности

Числовой последовательностью называется функция, определенная на множестве натуральных чисел ($f:N\rightarrow R$, $f$ - функция натурального аргумента). Обозначается числовая последовательность обычно через $(x_{n})$, где $n\in N,\; x_{n}=f(n)$ — n-й член последовательности. Формула $x_{n}=f(n)$ называется формулой общего члена последовательности $(x_{n}),\; n\in N$.
Примеры числовых последовательностей
Пример 1. Пусть числовая последовательность задана общим членом $x_{n}=\frac{1}{2n}$. Это означает, что каждому натуральному числу $n$ соответствует определенный член последовательности $(x_{n})$, т. е. $n\rightarrow \frac{1}{2n}$. Придавая $n$ значения 1,2,3,..., получим последовательность $(x_{n})$: $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{6};\frac{1}{8};...;\frac{1}{2n};...$.
Пример 2. Для числовой последовательности $\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{4};...$ формула общего члена имеет вид $x_{n}=\frac{1}{n+1}$.
Пример 3. Пусть последовательность задана формулой $x_{n}=(-1)^{n}$. Все члены последовательности с нечетными номерами равны -1, а с четными номерами равны 1: $x_{1}=-1;x_{2}=1;x_{3}=-1;x_{4}=1;...$. Получаем последовательность -1;1;-1;1;-1;...
Пример 4. Формулой $x_{n}=2$ задается последовательность, все члены которой равны 2: 2; 2; 2; 2; 2;
Последовательность $(x_{n})$ называется возрастающей, если каждый ее член, начиная со второго, больше предыдущего, т. е. если для всех $n\in N\; x_{n+1}>x_{n}$. Пример возрастающей последовательности: 1; 3; 5; 7; 9;...; (2n-1);... .
Последовательность $(x_{n})$ называется убывающей, если каждый ее член, начиная со второго, меньше предыдущего, т. е. если для всех $n\in N\; x_{n+1}<x_{n}$. Пример убывающей последовательности: $1;\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{4};...;\frac{1}{n};...$ .