Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители. Решение уравнений, содержащих дополнительные условия. Видеоурок №50

Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители. Решение уравнений, содержащих дополнительные условия. Учимся решать задачи по тригонометрии. Видеоурок №50
Пример. Решить уравнение $\displaystyle 1+\sin x+\cos x+\sin 2x+\cos 2x=0$.
Решение. $\displaystyle 1+\cos 2x+\sin 2x+\sin x+\cos x=0;$
$\displaystyle 2\cos ^{2}x+2\sin x\cos x+(\sin x+\cos x)=0;$
$\displaystyle 2\cos x(\sin x+\cos x)+(\sin x+\cos x)=0;\: (2\cos x+1)(\sin x+\cos x)=0.$
Получим совокупность $\displaystyle \left[\begin{matrix} \cos x=-0,5,\\ \sin x+\cos x=0.\\ \end{matrix}\right.$
Отсюда $\displaystyle \left[\begin{matrix} x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,\, k\in \mathbb{Z}\\ x=-\frac{\pi }{4}+\pi n,\, n\in \mathbb{Z}.\\ \end{matrix}\right.$

Полный урок смотрите в следующем видео:

Домашнее задание:

1. Решить уравнение:
1) $\displaystyle 16\sin x-\sin 2x=1-\cos 2x;$
2) $\displaystyle \sin 3x+\sin x-\sin 2x=2\cos ^{2}x-2\cos x;$
3) $\displaystyle \sin ^{3}4x+\cos ^{3}4x=1-0,5\sin 8x;$
4) $\displaystyle 2\cos 2x+\sin 3x-2=0;$
5) $\displaystyle (\cos x-\sin x)^{2}-0,5\sin 4x=\sin ^{4}x-\cos ^{4}x;$
6) $\displaystyle \cos 2x+\sin 2x=\sqrt{2}(\cos ^{4}2x-\sin ^{4}2x);$
7) $\displaystyle \sin ^{4}x+4\sin x-1=0;$
8) $\displaystyle 4\sin x+2\cos x=2+3\textrm{tg}\, x;$
9) $\displaystyle \sin ^{2}x+1-\cos x-\sin x+\frac{1}{2}\sin 2x+\textrm{ctg}\, x=0;$
10) $\displaystyle \frac{\sin x+1}{\cos x}+\cos x=2-\sin x(\cos x-2).$

2. Найти наибольший отрицательный корень уравнения:
1) $\displaystyle \sin ^{2}x+\cos x+1=0;$
2) $\displaystyle \cos ^{4}x-\sin ^{4}x=0;$
3) $\displaystyle \sin ^{2}x+0,5\sin 2x=1;$
4) $\displaystyle \cos 2x-3\cos x=4\cos ^{2}\frac{x}{2};$
5) $\displaystyle 4\sin ^{3}x+4\sin ^{2}x-3\sin x=3.$

3. Найти наименьший положительный корень уравнения:
1) $\displaystyle \sin 6x-\sin 4x=0;$
2) $\displaystyle \sin^{2} 2x+\sin^{2} x=1;$
3) $\displaystyle \sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x=0;$
4) $\displaystyle \sin 2x+\textrm{tg}\, x-2=0;$
5) $\displaystyle (1-\textrm{tg}\, x)(1+\sin 2x)=1+\textrm{tg}\, x.$

4. Найти все решения уравнения, удовлетворяющие данному неравенству:
1) $\displaystyle 2\cos ^{2}x=\sin x,\: \frac{\pi }{2}<x<\pi;$
2) $\displaystyle \sin x+\cos ^{2} x=\frac{1}{4},\: \pi <x<\frac{3\pi }{2};$

3) $\displaystyle \sin x+\cos x=1,\: 0<x<\pi ;$
4) $\displaystyle \cos 7x-\sqrt{3}\sin 7x=-\sqrt{2},\: \frac{2\pi }{5}<x<\frac{6\pi }{7};$
5) $\displaystyle \cos x\cos 2x=\cos 3x,\: -\frac{2\pi }{3}<x<\frac{\pi }{3}.$