Решения упражнений №3.042, 3.045, 3.049, 3.051, 3.053, 3.054 из сборника задач по математике Сканави (видео)

Решения с подробным объяснением упражнений №№3.042, 3.045, 3.049, 3.051, 3.053, 3.054 из сборника конкурсных задач по математике для поступающих во втузы под ред. М.И. Сканави.
Сборник содержит большое число задач в диапазоне трех степеней трудности, разнообразных и сходных по содержанию.
Часть 1. Задачи для письменных экзаменов.
Глава 2. Тождественные преобразования тригонометрических выражений.
Доказать тождества:

№3.042

$$\cos ^{2}(45^{\circ}-\alpha )\cos ^{2}(60^{\circ}+\alpha )-\cos 75^{\circ}\sin (75^{\circ}-2\alpha )=\sin 2\alpha.$$

№3.045

$$\frac{\textrm{ctg}^{2}2\alpha -1}{2\textrm{ctg}2\alpha }-\cos 8\alpha \textrm{ctg}4\alpha =8\alpha .$$

№3.049

$$\left ( \frac{\sqrt{\textrm{tg}\alpha }+\sqrt{\textrm{ctg}\alpha }}{\sin \alpha +\cos \alpha } \right )^{2}=\frac{2}{\sin 2\alpha }.$$

№3.051

$$\sin ^{6}\alpha +\cos ^{6}\alpha +3\sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\alpha =1.$$

№3.053

$$\sin \alpha \cdot \sin (x-\alpha )+\sin ^{2}\left ( \frac{x}{2}-\alpha \right )=\sin ^{2}\frac{x}{2}.$$

№3.154
Вычислить:

$$\textrm{tg}435^{\circ}+\textrm{tg}375^{\circ}.$$