Уравнения, которые решают с помощью формул преобразования суммы тригонометрических функций в произведение. Видеоурок №43

Уравнения, которые решают с помощью формул преобразования суммы тригонометрических функций в произведение. Решения уравнений. Учимся решать задачи по тригонометрии. Видеоурок №43
К простейшим тригонометрическим уравнениям относят следующие: $\displaystyle \sin x=a,\: \cos x=a,\: \textrm{tg}\, x=a,\: \textrm{ctg}\, x=a$.
Уравнения $\sin x=a$ и $\cos x=a$ имеют решения только при $\left | a \right |\leq 1$, при этом для первого уравнения $x=(-1)^{k}\arcsin a+\pi k,\: k\in \mathbb{Z}$, а для второго — $x=\pm \arccos a+2\pi k,\: k\in \mathbb{Z}$.
Для уравнений $\sin x=-1$, $\sin x=0$ и $\sin x=1$ решения определяются соответственно следующими формулами:

$\displaystyle x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k,\: k\in \mathbb{Z}$, $\displaystyle x=\pi k,\: k\in \mathbb{Z}$ и $\displaystyle x=\frac{\pi }{2}+2\pi k,\: k\in \mathbb{Z}$$, а для уравнений $\cos x=-1$, $\cos x=0$ и $\cos x=1$ — формулами $\displaystyle x=\pi +2\pi k,\: k\in \mathbb{Z}$, $\displaystyle x=\frac{\pi }{2} +\pi k,\: k\in \mathbb{Z}$, и $\displaystyle x=2\pi k,\: k\in \mathbb{Z}$, соответственно.

Решения уравнений $\textrm{tg}\, x=a$ и $\textrm{ctg}\, x=a$ определяются соответственно следующими формулами:
$x=\textrm{arctg}\, a+\pi k,\: k\in \mathbb{Z}$, и $x=\textrm{arcctg}\, a+\pi k,\: k\in \mathbb{Z}$.

Полный урок смотрите в следующем видео:

Домашнее задание:
1. Решить уравнение:
1) $\displaystyle \sin x+\sin \left ( x+\frac{\pi }{4} \right )=0;$
2) $\displaystyle \sin x+2\sin 2x=-\sin 3x;$
3) $\displaystyle \cos 5x+\cos 7x=\cos (\pi +6x);$
4) $\displaystyle \sin \left ( \frac{\pi }{12}+x \right )+\sin \left ( \frac{\pi }{4}-x \right )=1;$
5) $\displaystyle \sqrt{3}\sin 2x+\cos 5x=\cos 9x;$
6) $\displaystyle \cos x+\cos 5x=\cos 3x+\cos 7x;$
7) $\displaystyle \sin \left ( x+\frac{\pi }{4} \right )-\sin x=\sin \left ( 2x+\frac{\pi }{4} \right )-\sin 2x;$
2. Решить уравнение:
1) $\displaystyle \cos x-\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2};$
2) $\displaystyle \cos x+\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2};$
3) $\displaystyle \sin \left ( x+\frac{\pi }{6} \right )+\cos \left ( x+\frac{\pi }{3} \right )=0;$
4) $\displaystyle \sin 3x+\cos 11x=0.$