Решение тригонометрических уравнений с помощью формул тройного аргумента. Видеоурок №48

Тригонометрические уравнения, при решении которых используются формулы тройного аргумента. Уравнения, при решении которых используют универсальную тригонометрическую подстановку. Как решать тригонометрические уравнения. Учимся решать задачи по тригонометрии. Видеоурок №48
При решении уравнений в этом видеоуроке используются следующие соотношения:
$\displaystyle \sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha ;$
$\displaystyle \cos 3\alpha =4\cos^{3} \alpha -3\cos\alpha ;$
$\displaystyle \textrm{tg}\, 3\alpha =\frac{3\textrm{tg}\,\alpha -\textrm{tg}^{3}\,\alpha }{1-3\textrm{tg}^{2}\,\alpha }.$
Под универсальной тригонометрической подстановкой понимают представление тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. Напомним формулы, которые дают возможность выполнять подобные преобразования:

$$\displaystyle \sin 2\alpha =\frac{2\textrm{tg}\, \alpha }{1+\textrm{tg}^{2}\,\alpha }; \: \cos 2\alpha =\frac{1-\textrm{tg}^{2}\,\alpha }{1+\textrm{tg}^{2}\,\alpha };\: \textrm{tg}\, 2\alpha =\frac{2\textrm{tg}\,\alpha }{1-\textrm{tg}^{2}\,\alpha }.$$

Следует помнить, что при использовании этих формул область определения уравнения сужается на множество $\displaystyle \frac{\pi }{2}+\pi k,\: k\in \mathbb{Z}$. Поэтому, выбирая этот способ решения, следует проверить, не являются ли числа из множества $\displaystyle \frac{\pi }{2}+\pi k,\: k\in \mathbb{Z}$, корнями уравнения.

Полный урок смотрите в следующем видео:

Домашнее задание:
1. Решить уравнение:
1) $\displaystyle \cos 3x+2\cos x=0;$
2) $\displaystyle 3\sin \frac{x}{3}=\sin x;$
3) $\displaystyle \sin 6x+2=2\cos 4x;$
4) $\displaystyle 3\cos x+3\sin x+\sin 3x-\cos 3x=0;$
5) $\displaystyle \sin ^{3}x+\sin 3x=\frac{3\sqrt{3}}{4}\sin 2x;$
6) $\displaystyle \cos 4x=\cos ^{2}3x;$
7) $\displaystyle \cos 3x-1=\cos 2x;$
8) $\displaystyle \cos 6x+8\cos 2x-4\cos 4x-5=0.$
2. Решить уравнение:
1) $\displaystyle \sin 2x+\textrm{tg}\, x=2;$
2) $\displaystyle 2(1-\cos 2x)=\textrm{tg}\, x;$
3) $\displaystyle 1+\cos x+\textrm{tg}\, \frac{x}{2}=0;$
4) $\displaystyle \frac{59}{4}\cos x+6\sin x \, \textrm{tg}\, \frac{x}{2}=4\textrm{tg}\, x\, \textrm{ctg}\, \frac{x}{2};$
3. Решить уравнение:
1) $\displaystyle \textrm{tg}\,2x+\sin 2x=\frac{16}{15}\textrm{ctg}\,x;$
2) $\displaystyle 2\cos x+\sin x=-2;$
3) $\displaystyle 4\sin 2x-3\cos 2x=3;$
4) $\displaystyle \cos ^{2}x-2\cos x=4\sin x-\sin 2x;$
5) $\displaystyle 1-\sin x=(\sin x+\cos x)\cos x;$
6) $\displaystyle (\cos x-\sin x)\left ( 2\textrm{tg}\, x+\frac{1}{\cos x} \right )+2=0.$