Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Видеоурок №10

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Учимся решать задачи по тригонометрии. Видеоурок №10
Имеют место следующие соотношения:
1) $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1;$
2) $\displaystyle \textrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha};$
3) $\displaystyle \textrm{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha};$
4) $\displaystyle \textrm{tg}\alpha \cdot \textrm{ctg}\alpha =1\: \Rightarrow \: \textrm{tg}\alpha=\frac{1}{\textrm{ctg}\alpha};\: \textrm{ctg}\alpha=\frac{1}{\textrm{tg}\alpha};$
5) $\displaystyle 1+\textrm{tg}^{2}\alpha =\frac{1}{\cos^{2}\alpha };$
6) $\displaystyle 1+\textrm{ctg}^{2}\alpha =\frac{1}{\sin^{2}\alpha }.$

Полный урок смотрите в следующем видео:

Домашнее задание:
1. Упростить выражение:
1) $\displaystyle \cos ^{4}\alpha -\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha ;$
2) $\displaystyle \sin ^{4}\alpha +\sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha ;$
3) $\displaystyle \sin ^{4}\alpha -\cos ^{4}\alpha +\cos ^{2}\alpha ;$
4) $\displaystyle \cos ^{4}\alpha +\sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\alpha -1;$
2. Докажите тождество:
1) $\displaystyle \frac{\textrm{tg}^{2}\alpha }{1+\textrm{tg}^{2}\alpha }\cdot \frac{1+\textrm{ctg}^{2}\alpha }{\textrm{ctg}^{2}\alpha}=\textrm{tg}^{2}\alpha;$
2) $\displaystyle \frac{\textrm{ctg}\alpha }{\textrm{tg}\alpha +\textrm{ctg}\alpha }=\cos ^{2}\alpha ;$
3) $\displaystyle \frac{1-\textrm{ctg}\gamma }{1-\textrm{tg}\gamma }=-\textrm{ctg}\gamma ;$
4) $\displaystyle \frac{1+\textrm{tg}^{4}\alpha }{\textrm{tg}^{2}\alpha+\textrm{ctg}^{2}\alpha}=\textrm{tg}^{2}\alpha;$
5) $\displaystyle \textrm{tg}^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =\textrm{tg}^{2}\alpha\sin ^{2}\alpha;$
6) $\displaystyle \frac{\textrm{ctg}^{2}\alpha -\cos ^{2}\alpha }{\sin ^{2}\alpha -\textrm{tg}^{2}\alpha }=-\textrm{ctg}^{6}\alpha;$
7) $\displaystyle \frac{\sin \alpha +\textrm{tg}\alpha }{1+\cos \alpha }=\textrm{tg}\alpha ;$
8) $\displaystyle 1+\frac{\cos \alpha +\textrm{tg}^{2}\alpha }{1+\cos \alpha }=\frac{1}{\cos \alpha };$
9) $\displaystyle 1+(\textrm{ctg}^{2}\alpha -\textrm{tg}^{2}\alpha)\cos ^{2}\alpha =\textrm{ctg}^{2}\alpha;$
10) $\displaystyle \frac{(\sin \alpha +\cos \alpha )^{2}-1}{\textrm{tg}\alpha -\sin \alpha \cos \alpha }=2\textrm{ctg}^{2}\alpha;$
11) $\displaystyle (\textrm{tg}^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha )\cdot \frac{\textrm{ctg}^{2}\alpha}{\sin ^{2}\alpha }=1;$
12) $\displaystyle \frac{\cos ^{2}\alpha -\textrm{ctg}^{2}\alpha +1 }{\sin ^{2}\alpha +\textrm{tg}^{2}\alpha -1}=\textrm{ctg}^{2}\alpha;$
13) $\displaystyle \frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }=\frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha }.$