Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Видеоурок №11

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Учимся решать задачи по тригонометрии. Видеоурок №11
Имеют место следующие соотношения:
1) $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1;$
2) $\displaystyle \textrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha};$
3) $\displaystyle \textrm{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha};$
4) $\displaystyle \textrm{tg}\alpha \cdot \textrm{ctg}\alpha =1\: \Rightarrow \: \textrm{tg}\alpha=\frac{1}{\textrm{ctg}\alpha};\: \textrm{ctg}\alpha=\frac{1}{\textrm{tg}\alpha};$
5) $\displaystyle 1+\textrm{tg}^{2}\alpha =\frac{1}{\cos^{2}\alpha };$
6) $\displaystyle 1+\textrm{ctg}^{2}\alpha =\frac{1}{\sin^{2}\alpha }.$

Полный урок смотрите в следующем видео:

Домашнее задание:
1. Упростить выражение:
1) $\displaystyle \frac{\textrm{tg}(2\alpha -\beta )-\textrm{tg}(\beta-2\alpha)}{\textrm{ctg}(\beta-2\alpha)-\textrm{ctg}(2\alpha -\beta )};$
2) $\displaystyle \frac{\cos ^{3}(-\alpha )+\sin ^{3}(-\alpha )}{\cos \alpha +\sin (-\alpha )};$
3) $\displaystyle \cos (-\alpha )+\cos \alpha \textrm{tg}^{2}(-\alpha );$
4) $\displaystyle \frac{1+\sin (-\beta )}{\cos (-\beta )}-\textrm{tg}(-\beta );$

2. Упростить выражение:
1) $\displaystyle \sqrt{1-\sin ^{2}\frac{\alpha }{2}}+\sqrt{1-\cos ^{2}\frac{\alpha }{2}}$, если $3\pi<\alpha <4\pi$;

2) $\displaystyle \sqrt{\cos ^{2}\beta (1+\textrm{tg}\beta )+\sin ^{2}\beta (1+\textrm{ctg}\beta)}$, если $\displaystyle \pi <\beta <\frac{3\pi }{2}$;

3) $\displaystyle \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha}}-\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha}}$, если $\displaystyle \pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$;

4) $\displaystyle \sqrt{4\cos ^{2}\alpha +4\cos\alpha+1}-\sqrt{4-4\sin ^{2}\alpha }$, если $\displaystyle \frac{2\pi }{3}\leq \alpha \leq \pi$;

3. Вычислите значения тригонометрических функций угла $\alpha$, если известно, что:
1) $\displaystyle \sin \alpha =-\frac{2}{7},\: \pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$;

2) $\displaystyle \textrm{ctg} \alpha =-3\frac{3}{7},\: \frac{\pi }{2} <\alpha <\pi$;

3) $\displaystyle \cos \alpha =-\frac{\sqrt{2}}{3},\: \frac{\pi }{2} <\alpha <\pi$;

4) $\displaystyle \cos \alpha =0,28,\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$;

5) $\displaystyle \textrm{tg} \alpha =\sqrt{2},\: \pi<\alpha <\frac{3\pi }{2}$.