Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Видеоурок №12

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Учимся решать задачи по тригонометрии. Видеоурок №12
Имеют место следующие соотношения:
1) $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1;$
2) $\displaystyle \textrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha};$
3) $\displaystyle \textrm{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha};$
4) $\displaystyle \textrm{tg}\alpha \cdot \textrm{ctg}\alpha =1\: \Rightarrow \: \textrm{tg}\alpha=\frac{1}{\textrm{ctg}\alpha};\: \textrm{ctg}\alpha=\frac{1}{\textrm{tg}\alpha};$
5) $\displaystyle 1+\textrm{tg}^{2}\alpha =\frac{1}{\cos^{2}\alpha };$
6) $\displaystyle 1+\textrm{ctg}^{2}\alpha =\frac{1}{\sin^{2}\alpha }.$

Полный урок смотрите в следующем видео:

Домашнее задание:
1. Найдите значение выражения:
1) $\displaystyle \frac{\textrm{tg}\alpha +\textrm{ctg}\alpha}{\textrm{tg}\alpha -\textrm{ctg}\alpha},$ если $\displaystyle \textrm{tg}\alpha=\frac{\sqrt{6}}{2}$;
2) $\displaystyle \frac{\sin \alpha -\cos \alpha }{\sin \alpha +\cos \alpha }$, $\displaystyle \textrm{tg}\alpha=\frac{1}{3}$;
3) $\displaystyle \frac{5\cos \alpha +6\sin \alpha }{3\sin \alpha -7\cos \alpha }$, $\displaystyle \textrm{tg}\alpha=\frac{1}{2}$;
4) $\displaystyle \frac{\sin \alpha \cos \alpha }{\sin ^{2}\alpha -\cos ^{2}\alpha }$, $\displaystyle \textrm{ctg}\alpha=\frac{3}{4}$;
5) $\displaystyle \frac{3\sin ^{2}\alpha +12\sin \alpha \cos \alpha +\cos ^{2}\alpha }{\sin ^{2}\alpha +\sin \alpha \cos \alpha -2\cos ^{2}\alpha }$, $\displaystyle \textrm{tg}\alpha=2$;
6) $\displaystyle \frac{2\sin ^{2}\alpha -\sin \alpha \cos \alpha }{3\sin ^{2}\alpha +2\cos ^{2}\alpha }$, $\displaystyle \textrm{tg}\alpha=3$.

2. Дано: $\displaystyle \sin \alpha +\cos \alpha =a$. Найти:
1) $\displaystyle \sin \alpha -\cos \alpha$;
2) $\displaystyle \sin^{3} \alpha +\cos^{3} \alpha$;
3) $\displaystyle \sin^{4} \alpha +\cos^{4} \alpha$;
4) $\displaystyle \frac{1}{\sin^{4}\alpha } +\frac{1}{\cos^{4} \alpha }$.

3. Дано: $\displaystyle \textrm{tg}\alpha +\textrm{ctg}\alpha=a$. Найти:
1) $\displaystyle \textrm{tg}^{3}\alpha +\textrm{ctg}^{3}\alpha$;
2) $\displaystyle \textrm{tg}^{4}\alpha +\textrm{ctg}^{4}\alpha$.

4. Вычислить $\displaystyle \frac{\sin \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha -\cos \alpha}$, если $\displaystyle \sin \alpha \cos \alpha =\frac{2}{5}$.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения
1) $\displaystyle \sin ^{2}\alpha +2\cos ^{2}\alpha$;
2) $\displaystyle 3\sin ^{2}\alpha -2\cos ^{2}\alpha$;
3) $\displaystyle 3\cos ^{2}\alpha -\textrm{tg} \alpha \textrm{ctg} \alpha$;
4) $\displaystyle 3\sin ^{2}\alpha +2\cos \alpha$.