Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Видеоурок №8

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Учимся решать задачи по тригонометрии. Видеоурок №8
Имеют место следующие соотношения:
1) $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1;$
2) $\displaystyle \textrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha};$
3) $\displaystyle \textrm{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha};$
4) $\displaystyle \textrm{tg}\alpha \cdot \textrm{ctg}\alpha =1\: \Rightarrow \: \textrm{tg}\alpha=\frac{1}{\textrm{ctg}\alpha};\: \textrm{ctg}\alpha=\frac{1}{\textrm{tg}\alpha};$
5) $\displaystyle 1+\textrm{tg}^{2}\alpha =\frac{1}{\cos^{2}\alpha };$
6) $\displaystyle 1+\textrm{ctg}^{2}\alpha =\frac{1}{\sin^{2}\alpha }.$

Полный урок смотрите в следующем видео:

Домашнее задание:
1. Могут ли одновременно выполняться равенства?
1) $\displaystyle \sin \alpha =\frac{12}{13}$ и $\displaystyle \cos \alpha =\frac{5}{13}$;
2) $\displaystyle \sin \alpha =\frac{2}{3}$ и $\displaystyle \textrm{tg}\alpha =\frac{1}{3}$;
3) $\displaystyle \sin \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ и $\displaystyle \cos \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$;
4) $\displaystyle \sin \alpha =\frac{a}{a+2}$ и $\displaystyle \cos \alpha =\frac{2\sqrt{1+a}}{a+2}$, где $a\neq -2$;
5) $\textrm{tg}\alpha =2,4$ и $\textrm{ctg}\alpha =0,5$;
6) $\textrm{tg}\alpha =\sqrt{2}-1$ и $\textrm{ctg}\alpha =\sqrt{2}+1$.
2. Упростить выражение:
1) $1-\sin ^{2}\alpha$;
2) $1-\cos ^{2}\alpha$;
3) $\sin ^{2}\beta -1$;
4) $\sin ^{2}\varphi +\cos ^{2}\varphi +1$;
5) $1-\sin ^{2}3\alpha -\cos ^{2}3\alpha$;
6) $\sin ^{2}2\alpha +\cos ^{2}2\alpha +\textrm{ctg}^{2}5\alpha$;
7) $\frac{1-\sin ^{2}\alpha }{1-\cos ^{2}\alpha }$;
8) $\cos \alpha \textrm{tg}\alpha$;
9) $\displaystyle \sin \frac{\alpha }{3}\cdot \textrm{ctg} \frac{\alpha }{3}$;
10) $\displaystyle \frac{1}{\cos ^{2}\alpha }-1$;
11) $\displaystyle 1-\sin ^{2}\alpha +\textrm{ctg}^{2}\alpha \sin ^{2}\alpha$;
12) $\displaystyle \frac{\sin ^{2}\alpha -1}{\cos ^{2}\alpha -1}+\textrm{tg}\alpha \textrm{ctg}\alpha$;
13) $\displaystyle \frac{\sin^{2}\alpha }{1+\textrm{ctg}^{2}\alpha (\cos ^{2}\alpha -1)}$ ;
14) $\displaystyle \frac{1-\cos ^{2}\alpha +\textrm{tg}^{2}\alpha \cos ^{2}\alpha}{\sin ^{2}\alpha }$;
15) $\displaystyle \frac{1+\textrm{tg}^{2}\alpha }{1+\textrm{ctg}^{2}\alpha }$.