Дифференциалы функции многих переменных (теория). Практикум по математическому анализу. Урок 102

Дифференциалы функции многих переменных (теория). Практикум по математическому анализу. Урок 102

Дифференциалы функции многих переменных (теория)

Частным дифференциалом функции u=f(x,y,...,t) по x называется главная часть соответствующего частного приращения \Delta _{x}u=f(x+\Delta x,y,...,t)-f(x,y,...,t), линейная относительно приращения \Delta _{x} (или, что то же, дифференциала dx).

Аналогично определяются частные дифференциалы функции u по каждому из остальных ее аргументов. Частные дифференциалы функции u по x, по y, ..., по t обозначаются, соответственно, \displaystyle d_{x}u,d_{y}u,...,d_{t}u.

Из определения частных производных следует, что

\displaystyle d_{x}u=\frac{\partial u}{\partial x}dx,d_{y}u=\frac{\partial u}{\partial y}dy,...,d_{t}u=\frac{\partial u}{\partial t}dt.


Полным дифференциалом функции u=f(x,y,...,t) называется главная часть ее полного приращения

\displaystyle \Delta u=f(x+\Delta x,y+\Delta y,...,t+\Delta t)-f(x,y,...,t),

линейная относительно приращений \Delta x,\Delta y,...,\Delta t (или, что то же, дифференциалов dx,dy,...,dt).

Полный дифференциал du функции u (если он существует) равен сумме всех ее частных дифференциалов

\displaystyle du=d_{x}u+d_{y}u+...+d_{t}u=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy+...+\frac{\partial u}{\partial t}dt.

Функция u(x,y,...,t) называется дифференцируемой в точке (x,y,...,t), если в этой точке она имеет полный дифференциал.

При достаточно малых (по абсолютному значению) приращениях аргументов полное приращение функции можно с как угодно малой относительной погрешностью заменить ее полным дифференциалом

\Delta u\approx du.

Вычисление полного дифференциала функции значительно проще, чем вычисление ее полного приращения. Поэтому указанное приближенное равенство используется для приближенных вычислений.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

один × 3 =