Функции многих переменных, их обозначение и область определения (задачи). Практикум по математическому анализу. Урок 99

Функции многих переменных, их обозначение и область определения (задачи). Практикум по математическому анализу. Урок 99
Пример 1. Вычислить частное значение функции:

1) $f(x,y)=\sqrt{x^{2}-y^{2}}$ при $x=5,\: y=-3$;
2) $\displaystyle u=\ln \frac{x+z}{2y-z}$ в точке $A(6;2;-1)$.

Решение.

1) $\displaystyle f(5;-3)=\sqrt{5^{2}-(-3^{2})}=4;$
2) $\displaystyle u(A)=\ln \frac{6-1}{4+1}=0$.

Пример 2. Построить область $D$ изменения переменных $x$ и $y$, заданную следующими неравенствами:

1) $\displaystyle 2\leq x\leq 6,\: 1\leq y\leq 3;$

2) $\displaystyle \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}<1;$

3) $\displaystyle 4\leq x^{2}+y^{2}\leq 9;$

4) $\displaystyle 0<y<x.$

Решение. 1) Данным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, находящейся внутри и на границе прямоугольника, стороны которого лежат на прямых $x=2,\: x=6,\: y=1$ и $y=3$. Этот прямоугольник и есть область $D$ изменения переменных $x$ и $y$ (рис. 1). Такая область, в которую входит и ее граница, называется замкнутой.

2) Здесь область $D$ есть совокупность всех точек, лежащих внутри эллипса $\displaystyle \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$, так как все эти точки, и только они, удовлетворяют данному неравенству (рис. 2). Такая область, в которую не входит ее граница, называется открытой.

3) Здесь область $D$ есть круговое кольцо, ограниченное окружностями $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$ и $\displaystyle x^{2}+y^{2}=9$ с общим центром в начале координат и радиусами $\displaystyle r_{1}=2$ и $\displaystyle r_{2}=3$, рис.3 (замкнутая область).

4) Здесь область $D$ (открытая) ограничена биссектрисой первого координатного угла и осью абсцисс (рис.4).

Пример 3. Найти области определения следующих функций:

1) $z=4-x-2y;$
2) $\displaystyle p=\frac{3}{x^{2}+y^{2}};$
3) $\displaystyle z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}};$
4) $\displaystyle q=\frac{1}{\sqrt{xy}};$
5) $\displaystyle u=\frac{x^{2}y}{2x+y};$
6) $\displaystyle v=\textrm{arcsin}\, (x+y).$

Решение.
1) Функция $z$, как и всякая целая рациональная функция, определена (может быть вычислена) при любых значениях $x$ и $y$, т. е. область определения функции $z$ есть вся числовая плоскость $xOy$, $\displaystyle -\infty <x<+\infty ,\: -\infty <y<+\infty .$ Геометрическое изображение (график) этой функции есть плоскость, пересекающая координатные оси в точках $A(4;0;0),\, B(0;2;0),\, C(0;0;4)$.

2) Функция $p$ определена при любой системе значений $x,y$, кроме системы $x=0,y=0$, при которой ее знаменатель обращается в нуль. Поэтому областью определения функции $p$ является вся числовая плоскость, кроме точки $(0;0)$.

3) Область определения функции $z$ есть круг с центром в начале координат и радиусом $r=1$, включая и его границу — окружность $x^{2}+y^{2}=1$ (замкнутая область). Внутри круга подкоренное выражение положительно, на его границе —равно нулю, а вне круга — отрицательно. Графическим изображением функции является полусфера, расположенная над плоскостью $xOy$ (рис.5).

4) Функция $q$ определена в тех и только в тех точках плоскости $xOy$, координаты которых удовлетворяют неравенству $xy>0$. Все эти точки лежат внутри первого и третьего квадрантов (открытая область).

5) Областью определения функции и является вся плоскость $xOy$, за исключением прямой $2x+y=0$, в точках которой знаменатель функции и обращается в нуль.

6) Область определения функции $v$ есть совокупность систем значений $x$ и $y$, удовлетворяющих неравенствам $-1\leq x+y\leq1$. На плоскости $xOy$ эта область представляет полосу, ограниченную параллельными прямыми $x+y+1=0$ и $x+y-1=0$ (рис. 6).