Предел функции многих переменных. Непрерывность. Практикум по математическому анализу. Урок 100

Предел функции многих переменных. Непрерывность. Практикум по математическому анализу. Урок 100

Предел функции многих переменных. Непрерывность
Число A называется пределом функции f(M) в точке M_{0}:

\displaystyle \underset{M \to M_{0}}{\lim }f(M)=A,


если абсолютное значение разности f(M)-f(M_{0}) будет меньше любого заранее данного положительного числа \varepsilon, когда расстояние MM_{0} меньше некоторого положительного числа \delta (зависящего от \varepsilon).
Функция f(M) называется непрерывной в точке M_{0}, если

\displaystyle \underset{M \to M_{0}}{\lim }f(M)=f(M_{0}).

Для непрерывности функции f(M) в точке M_{0} необходимо выполнение следующих условий:
1) f(M) должна быть определена в точке M_{0} и вблизи этой точки;
2) f(M) должна иметь предел, когда точка \displaystyle M \to M_{0} произвольным способом;
3) этот предел должен быть равен \displaystyle f(M_{0}).
Функция f(M), непрерывная в каждой точке некоторой области D, называется непрерывной в этой области.

Пример 1. Найти пределы:
1) \displaystyle \underset{\begin{matrix} x \to 3\\ y \to 0 \end{matrix}}{\lim }\frac{tg(xy)}{y};
2) \displaystyle \underset{\begin{matrix} x \to 0\\ y \to 0 \end{matrix}}{\lim }\frac{x}{x+y}.

Решение. Убедившись, что функция не определена в предельной точке, делаем преобразования

1) \displaystyle \underset{\begin{matrix} x \to 3\\ y \to 0 \end{matrix}}{\lim }\frac{tg(xy)}{y}=\lim x\cdot \lim \frac{\textrm{tg}(xy)}{xy}=3\cdot 1=3, так как \displaystyle \underset{\alpha \to 0}{\lim }\frac{\textrm{tg} \alpha}{\alpha}=1.

2) \displaystyle \underset{\begin{matrix} x \to 0\\ y \to 0 \end{matrix}}{\lim }\frac{x}{x+y}=\lim \frac{1}{1+\frac{y}{x}} не существует, ибо отношение \displaystyle \frac{y}{x} не имеет предела при произвольном стремлении точки M(x,y) к точке M_{0}(0;0). Так, если M \to M_{0} вдоль различных прямых y=kx, то \displaystyle \frac{y}{x}=k, т. е. зависит от углового коэффициента прямой, по которой движется точка M.

Пример 2. В каких случаях функция многих переменных f(M) будет разрывна в точке M_{0}? Поясните их примерами.

Решение. 1) Функция f(M) будет разрывна в точке M_{0}, если она определена вблизи этой точки, но не определена в самой точке M_{0}.

Например, функция \displaystyle z=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+3y^{2}}} определена на всей плоскости xOy, но не определена в точке \displaystyle M_{0}(0;0), поэтому в этой точке функция разрывна. Во всех других точках числовой плоскости она непрерывна.

2) Функция f(M) будет разрывна в точке M_{0}, если она определена вблизи этой точки и в самой точке, но не имеет предела, когда точка M \to M_{0}.
Например, функция

\displaystyle u=\left\{\begin{matrix} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}},\: x\neq 0,y\neq 0\\ 3,\: x=y=0 \end{matrix}\right.


разрывна в точке \displaystyle M_{0}(0;0), так как она определена вблизи этой точки и в самой точке (на всей плоскости xOy), но не имеет предела при M \to M_{0}. В остальных точках плоскости xOy она непрерывна.

3) Функция f(M) будет разрывна в точке M_{0}, если она определена вблизи этой точки и в самой точке, но \displaystyle \underset{M \to M_{0}}{\lim }f(M)\neq f(M_{0}).

Например, функция

\displaystyle z=\left\{\begin{matrix} 5-x-y,\: x\neq 1,y\neq 2\\ 1,\: x=1,y=2 \end{matrix}\right.

разрывна в точке \displaystyle M_{0}(1;2), ибо она определена вблизи этой точки и в самой точке, но ее предел при \displaystyle M \to M_{0} не совпадает с частным значением в точке M_{0}; \displaystyle \underset{M \to M_{0}}{\lim }z=2\neq z(M_{0})=1.

Графиком этой функции является вся плоскость \displaystyle z=5-x-y без точки \displaystyle P(1;2;2), вместо которой графику принадлежит точка \displaystyle Q(1;2;1) (рис. 1).

Предел функции многих переменных. Непрерывность. Практикум по математическому анализу. Урок 100
Рис.1

Функция двух переменных z=f(x,y) может иметь множество точек разрыва; если они составляют линию, то она называется линией разрыва функции.

Например, функция \displaystyle z=\frac{1}{1-x^{2}-y^{2}} разрывна в каждой точке окружности \displaystyle x^{2}+y^{2}=1. Эта окружность есть линия разрыва данной функции.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

20 − 10 =