Функции многих переменных, их обозначение и область определения (теория)
Переменная называется функцией
переменных (аргументов)
, если каждой системе значений
из области их изменения, соответствует определенное значение
.
Функциональная зависимость от
символически обозначается:
, где после символа функции (которым может быть не только буква
, но и другие буквы) в скобках указываются все переменные, от которых зависит данная функция.
Частное значение функции при
обозначается
. Например, если
, то
Геометрически, каждая система значений двух переменных изображается точкой на плоскости, а функция двух переменных
— некоторой поверхностью в пространстве; система значений трех переменных
изображается точкой в пространстве (Обычно значения переменных рассматриваются как абсцисса, ордината и апликата точки в прямоугольной системе координат.)
Система значений четырех и большего числа переменных не имеет геометрического изображения. Однако, в целях общности, для упрощения записей и рассуждений, систему значений любого числа переменных
называют точкой
-мерного пространства
, а функцию
, зависящую от
переменных, называют функцией точки
-мерного пространства
.
Областью определения (существования) функции называется совокупность всех точек, в которых она имеет определенные действительные значения.
Для функции двух переменных область определения представляет некоторую совокупность точек плоскости, а для функции трех переменных
— некоторую совокупность точек пространства.